Determine a reta tangente ao gráfico de
no ponto
em cada um dos casos abaixo:
Passo 1
Beleza! A gente vai resolver um exercício de cálculo que pede para encontrar a reta tangente ao gráfico da função $ f(x) = \frac{1}{x} $ no ponto onde $ x_0 = 2 $. Para isso, vamos precisar entender como calcular a derivada de uma função, que nos dá a inclinação da reta tangente em qualquer ponto específico.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar o valor da função no ponto $ x_0 = 2 $. Substituindo $ x $ por 2 na função:
Então, o ponto de tangência é $ (2, 0,5) $.
Passo 3
Agora, precisamos encontrar a derivada da função $ f(x) = \frac{1}{x} $. A derivada nos dá a inclinação da reta tangente em qualquer ponto $ x $.
A derivada de $ f(x) = x^{-1} $ é:
Passo 4
Vamos calcular a derivada no ponto $ x_0 = 2 $:
Então, a inclinação da reta tangente nesse ponto é -0,25.
Passo 5
Com a inclinação $ m = -0,25 $ e o ponto de tangência $ (2, 0,5) $, podemos usar a fórmula da equação da reta:
Substituindo os valores:
Passo 6
Vamos simplificar a equação para deixá-la na forma $ y = mx + b $:
Resposta
A reta tangente ao gráfico de $ f(x) = \frac{1}{x} $ no ponto $ (2, 0,5) $ é: