Determine a reta tangente ao gráfico de f no ponto (x0, f(x0)) em cada um dos casos abaixo:
f(x)=1x, x0=2

Passo 1

Beleza! A gente vai resolver um exercício de cálculo que pede para encontrar a reta tangente ao gráfico da função $ f(x) = \frac{1}{x} $ no ponto onde $ x_0 = 2 $. Para isso, vamos precisar entender como calcular a derivada de uma função, que nos dá a inclinação da reta tangente em qualquer ponto específico.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o valor da função no ponto $ x_0 = 2 $. Substituindo $ x $ por 2 na função:
x0 = 2
Então, o ponto de tangência é $ (2, 0,5) $.

Passo 3

Agora, precisamos encontrar a derivada da função $ f(x) = \frac{1}{x} $. A derivada nos dá a inclinação da reta tangente em qualquer ponto $ x $.
A derivada de $ f(x) = x^{-1} $ é:
f(x) = 1x

Passo 4

Vamos calcular a derivada no ponto $ x_0 = 2 $:
x0 = 2
Então, a inclinação da reta tangente nesse ponto é -0,25.

Passo 5

Com a inclinação $ m = -0,25 $ e o ponto de tangência $ (2, 0,5) $, podemos usar a fórmula da equação da reta:
m = -0,25
Substituindo os valores:
(2, 0,5)

Passo 6

Vamos simplificar a equação para deixá-la na forma $ y = mx + b $:
y = mx + b
y - 0,5 = -0,25x + 0,5

Resposta

A reta tangente ao gráfico de $ f(x) = \frac{1}{x} $ no ponto $ (2, 0,5) $ é:
f(x) = 1x

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