Sejam
P(x)=x^{100}-x^{80}+400 e Q(x)=-2 x^{20}+200 x. O valor de \lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{P(x)}{Q(x)} é
(A) -2 .
(B) -\frac{1}{2}.
(C) 0 .
(D) +\infty.
(E) -\infty.

Passo 1

O enunciado fornece duas funções polinomiais e pede o limite do quociente quando x\to+\infty. Dados:
  • P(x)=x^{100}-x^{80}+400.
  • Q(x)=-2x^{20}+200x.
O que se pede: calcular \displaystyle \lim_{x\rightarrow+\infty}\frac{P(x)}{Q(x)} e escolher entre as alternativas (A) -2, (B) -\tfrac{1}{2}, (C) 0, (D) +\infty, (E) -\infty.

Passo 2

Ideia principal (explicação didática): quando temos o quociente de dois polinômios \dfrac{P(x)}{Q(x)} e enviamos x para +\infty, os termos de maior grau dominam o comportamento. Portanto é suficiente comparar os graus (exponentes máximos) e os coeficientes líderes dos polinômios.
Vou identificar grau e coeficiente líder de cada polinômio:
  • Para P(x)=x^{100}-x^{80}+400, o termo de maior grau é x^{100}. Logo o grau de P é 100 e o coeficiente líder é 1.
  • Para Q(x)=-2x^{20}+200x, o termo de maior grau é -2x^{20}. Logo o grau de Q é 20 e o coeficiente líder é -2.

Passo 3

Regra prática (aula rápida): se \deg P>\deg Q, então \dfrac{P(x)}{Q(x)} cresce em módulo como x^{\deg P-\deg Q} multiplicado pela razão dos coeficientes líderes; em particular o limite em +\infty é:
  • +\infty se a razão dos coeficientes líderes for positiva,
  • -\infty se a razão for negativa.
Aqui \deg P-\deg Q=100-20=80>0. A razão dos coeficientes líderes é \dfrac{1}{-2}=-\tfrac{1}{2}, que é negativa. Como x^{80} é positivo para x\to+\infty, o sinal do quociente será o sinal da razão dos coeficientes líderes (negativo) e o módulo tende a +\infty. Portanto o limite deverá ser -\infty.

Passo 4

Fazer isso de modo explícito e elementar (passo a passo sem pular contas): dividir numerador e denominador por x^{20} (a maior potência do denominador) para tornar claro o crescimento.
Calcule
\frac{P(x)}{Q(x)} =\frac{x^{100}-x^{80}+400}{-2x^{20}+200x} =\frac{x^{20}\bigl(x^{80}-x^{60}+400x^{-20}\bigr)}{x^{20}\bigl(-2+200x^{-19}\bigr)} =\frac{x^{80}-x^{60}+400x^{-20}}{-2+200x^{-19}}.

Passo 5

Agora passe ao limite termo a termo usando que x^{-k}\to0 quando x\to+\infty e que potências positivas de x tendem a +\infty:
  • x^{80}\to+\infty.
  • x^{60}\to+\infty, logo x^{80}-x^{60}\sim x^{80}\to+\infty.
  • 400x^{-20}\to0.
  • No denominador, -2+200x^{-19}\to-2.
Assim, para x\to+\infty,
\frac{P(x)}{Q(x)}\sim\frac{x^{80}}{-2} \longrightarrow -\infty.

Passo 6

Interpretação final curta: o numerador cresce como x^{100} (positivo para x\to+\infty) e o denominador como -2x^{20} (negativo e em módulo menor do que o numerador), portanto o quociente tende a -\infty.

Resposta

(E) -\infty

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