Sejam
. O valor de
é
(A) -2 .
(B)
.
(C) 0 .
(D)
.
(E)
.
(A) -2 .
(B)
(C) 0 .
(D)
(E)
Passo 1
O enunciado fornece duas funções polinomiais e pede o limite do quociente quando
. Dados:
-
. -
.
O que se pede: calcular
e escolher entre as alternativas (A)
, (B)
, (C)
, (D)
, (E)
.
Passo 2
Ideia principal (explicação didática): quando temos o quociente de dois polinômios
e enviamos
para
, os termos de maior grau dominam o comportamento. Portanto é suficiente comparar os graus (exponentes máximos) e os coeficientes líderes dos polinômios.
Vou identificar grau e coeficiente líder de cada polinômio:
- Para
, o termo de maior grau é . Logo o grau de é e o coeficiente líder é . - Para
, o termo de maior grau é . Logo o grau de é e o coeficiente líder é .
Passo 3
Regra prática (aula rápida): se
, então
cresce em módulo como
multiplicado pela razão dos coeficientes líderes; em particular o limite em
é:
-
se a razão dos coeficientes líderes for positiva, -
se a razão for negativa.
Aqui
. A razão dos coeficientes líderes é
, que é negativa. Como
é positivo para
, o sinal do quociente será o sinal da razão dos coeficientes líderes (negativo) e o módulo tende a
. Portanto o limite deverá ser
.
Passo 4
Fazer isso de modo explícito e elementar (passo a passo sem pular contas): dividir numerador e denominador por
(a maior potência do denominador) para tornar claro o crescimento.
Calcule
Passo 5
Agora passe ao limite termo a termo usando que
quando
e que potências positivas de
tendem a
:
-
. -
, logo . -
. - No denominador,
.
Assim, para
,
Passo 6
Interpretação final curta: o numerador cresce como
(positivo para
) e o denominador como
(negativo e em módulo menor do que o numerador), portanto o quociente tende a
.
Resposta
(E)