Considere a função
definida no intervalo
. Use o teorema do valor médio para determinar o valor de
tal que
seja igual à taxa média de variação de
no intervalo.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos a função
definida no intervalo
. O que precisamos fazer aqui é aplicar o Teorema do Valor Médio para encontrar um valor
dentro desse intervalo onde a derivada da função
é igual à taxa média de variação da função nesse mesmo intervalo. Para isso, vamos precisar que a função seja contínua e diferenciável nesse intervalo, que é o caso aqui.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a taxa média de variação da função
no intervalo
. A fórmula para isso é:
Onde
e
.
Então, vamos calcular
e
:
Agora, a taxa média de variação é:
Passo 3
Agora, vamos encontrar a derivada da função
. A derivada nos dá a taxa de variação instantânea da função em qualquer ponto
.
A derivada de
é:
Passo 4
Segundo o Teorema do Valor Médio, existe um ponto
no intervalo
onde a derivada
é igual à taxa média de variação que calculamos.
Então, vamos igualar
a 1:
Resolvendo para
:
Resposta
O valor de
é
.