Considere a função f(x)=x^wed>= 2-4 x+3 definida no intervalo [1,4]. Use o teorema do valor médio para determinar o valor de c in(1,4) tal que f^prime(c) seja igual à taxa média de variação de f(x) no intervalo.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos a função f(x) = x^2 - 4x + 3 definida no intervalo [1, 4]. O que precisamos fazer aqui é aplicar o Teorema do Valor Médio para encontrar um valor c dentro desse intervalo onde a derivada da função f'(c) é igual à taxa média de variação da função nesse mesmo intervalo. Para isso, vamos precisar que a função seja contínua e diferenciável nesse intervalo, que é o caso aqui.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a taxa média de variação da função f(x) no intervalo [1, 4]. A fórmula para isso é:
Taxa média = f(b) - f(a)b - a é
Onde a = 1 e b = 4 .
Então, vamos calcular f(4) e f(1) :
f(4) = 4^2 - 4 times 4 + 3 = 16 - 16 + 3 = 3
f(1) = 1^2 - 4 times 1 + 3 = 1 - 4 + 3 = 0
Agora, a taxa média de variação é:
Taxa média = 3 - 04 - 1 = 33 = 1 é

Passo 3

Agora, vamos encontrar a derivada da função f(x) . A derivada nos dá a taxa de variação instantânea da função em qualquer ponto x .
A derivada de f(x) = x^2 - 4x + 3 é:
f'(x) = 2x - 4

Passo 4

Segundo o Teorema do Valor Médio, existe um ponto c no intervalo (1, 4) onde a derivada f'(c) é igual à taxa média de variação que calculamos.
Então, vamos igualar f'(c) a 1:
2c - 4 = 1
Resolvendo para c :
2c = 1 + 4 = 5
c = 52 = 2,5

Resposta

O valor de c é 2,5 .

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