Considere a função f(x)=raizx. Utilize o diferencial da função para estimar o valor de raiz25,5.

Passo 1

Beleza, a gente vai resolver esse exercício que pede para estimar o valor de raiz25,5 usando o diferencial da função f(x) = raizx. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre diferenciais e como elas podem nos ajudar a aproximar valores de funções que são difíceis de calcular exatamente.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o diferencial de uma função, denotado por df, nos dá uma aproximação linear da variação da função em um ponto específico. Se a gente tem uma função f(x) e um ponto x = a, o diferencial é dado por:
df = f'(a) cdot dx
onde f'(a) é a derivada da função no ponto a, e dx é uma pequena variação em x.

Passo 3

No nosso caso, a função é f(x) = raizx. Vamos escolher um valor de x próximo de 25,5 que seja fácil de calcular. Um bom ponto de referência é x = 25, já que raiz25 = 5.

Passo 4

Agora, precisamos calcular a derivada de f(x) = raizx. A derivada de raizx é:
f'(x) = 12raizx
Portanto, em x = 25:
f'(25) = 12 cdot 5 = 110 = 0,1

Passo 5

A variação que queremos é de x = 25 para x = 25,5. Então, a variação dx é:
dx = 25,5 - 25 = 0,5

Passo 6

Agora, aplicamos a fórmula do diferencial para estimar a variação na função:
df = f'(25) cdot dx = 0,1 cdot 0,5 = 0,05

Passo 7

Finalmente, para estimar raiz25,5, somamos o valor da função no ponto de referência com o diferencial:
raiz25,5 approx f(25) + df = 5 + 0,05 = 5,05

Resposta

raiz25,5 approx 5,05

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