Num triângulo , sejam os pontos médios dos lados e A C, respectivamente. Mostre que
A N+B P+C A=0
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um triângulo ABC onde M, N e P são os pontos médios dos lados AB, BC e AC, respectivamente. O objetivo é provar que a soma dos vetores AN + BP + CA dá o vetor nulo, ou seja, 0. Para resolver isso, vamos usar conceitos básicos de vetores e propriedades dos pontos médios.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que o ponto médio de um segmento divide ele exatamente pela metade. Então, se M é o ponto médio de AB, por exemplo, temos que AM = 12AB. Vamos usar essa ideia para expressar os vetores AN, BP e CA em termos dos vetores dos lados do triângulo.
Passo 3
Vamos definir as posições dos pontos usando vetores:
Seja A a posição do ponto A.
Assim, B é a posição de B, e C a de C.
Agora, já que N é o ponto médio de BC, podemos escrever:
N = 12(B + C)
E como P é o ponto médio de AC:
P = 12(A + C)
Passo 4
Vamos expressar cada vetor que queremos somar:
AN = N - A = 12(B + C) - A
BP = P - B = 12(A + C) - B
CA = A - C
Passo 5
Agora, vamos somar os três vetores:
AN + BP + CA = (12(B + C) - A) + (12(A + C) - B) + (A - C)