Num triângulo A B C, sejam M, N, P os pontos médios dos lados A B, B C e A C, respectivamente. Mostre que
A N+B P+C A=0

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um triângulo ABC onde M, N e P são os pontos médios dos lados AB, BC e AC, respectivamente. O objetivo é provar que a soma dos vetores AN + BP + CA dá o vetor nulo, ou seja, 0. Para resolver isso, vamos usar conceitos básicos de vetores e propriedades dos pontos médios.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o ponto médio de um segmento divide ele exatamente pela metade. Então, se M é o ponto médio de AB, por exemplo, temos que AM = 12AB. Vamos usar essa ideia para expressar os vetores AN, BP e CA em termos dos vetores dos lados do triângulo.

Passo 3

Vamos definir as posições dos pontos usando vetores:
  • Seja A a posição do ponto A.
  • Assim, B é a posição de B, e C a de C.
Agora, já que N é o ponto médio de BC, podemos escrever:
N = 12(B + C)
E como P é o ponto médio de AC:
P = 12(A + C)

Passo 4

Vamos expressar cada vetor que queremos somar:
  1. AN = N - A = 12(B + C) - A
  2. BP = P - B = 12(A + C) - B
  3. CA = A - C

Passo 5

Agora, vamos somar os três vetores:
AN + BP + CA = (12(B + C) - A) + (12(A + C) - B) + (A - C)
Vamos simplificar cada termo:
  1. Expandindo os parênteses:
= 12B + 12C - A + 12A + 12C - B + A - C
  1. Agrupando termos semelhantes:
= (12B - B) + (12A - A + A) + (12C + 12C - C)
  1. Simplificando cada grupo:
= -12B + 12A + 0C
  1. Observamos que os termos se cancelam:
= 0

Resposta

AN + BP + CA = 0

Exercícios relacionados