Considere a função definida por
A conjectura
é a afirmação de que a partir de qualquer inteiro
, a sequência de iterações
,
, …, finalmente atinge o inteiro 1 e, posteriormente, passa pelos valores 1 e 2. Isto foi verificado para todo
. Confirme esta conjectura nos casos em que
e
.
Passo 1
Beleza, a questão é sobre a famosa conjectura “3n+1” (ou problema de Collatz). Recebemos a função
e precisamos mostrar que, partindo de
e de
, as iterações de
chegam em 1 (e depois passam por 2). Para resolver isso, vamos aplicar passo a passo a definição de
até aparecer o 1.
Passo 2
Vamos começar com
.
-
é ímpar, então -
é par, logo -
é par, -
é par, -
é par, -
é par,
Pronto, a partir de 21 chegamos em 1 depois de algumas aplicações de
.
Passo 3
Agora
:
-
é ímpar, -
é ímpar, -
é ímpar, -
é par, -
(tudo par até chegar em 5): -
é ímpar, - A partir de
voltamos ao mesmo ciclo de pares:
Logo, começando em 23 também chegamos em 1.
Passo 4
A gente aplicou direitinho a regra de Collatz (
par vs ímpar) e viu que, tanto para
quanto para
, a sequência atinge o valor 1, depois 2, e assim por diante. Isso confirma a conjectura para esses casos específicos.
Resposta
Para
e para
, as iterações de
chegam em 1 (e depois passam por 2), confirmando a conjectura
nesses casos.