Verifique que para todo
,
Passo 1
Beleza, o enunciado pede pra gente mostrar que, para todo
, vale a identidade
O conteúdo que vamos usar é princípio de indução matemática (base e passo indutivo) e também a definição de fatorial. Não vamos assumir nada pronto — vou explicar o que é cada coisa na hora que usar.
Passo 2
Base da indução
.
- Lado esquerdo: só tem um fator,
. - Lado direito:
.
Como dá, a base está ok!
Passo 3
Hipótese de indução. Suponha que para algum
já seja verdade
Passo 4
Passo indutivo
. A gente quer mostrar
Repare que
. Então o lado esquerdo fica
Pela hipótese de indução, isso é
Agora veja o lado direito que queremos:
Como
, isso vira
que é exatamente o que tínhamos no lado esquerdo. Pronto, o passo indutivo fecha!
Resposta
Logo, por indução, mostramos que para todo