Verifique que para todo n >= 1,
2 cdot 6 cdot 10 cdot 14 cdot cdots cdot(4 n-2)=(2 n)!n!

Passo 1

Beleza, o enunciado pede pra gente mostrar que, para todo n>=1, vale a identidade
2cdot6cdot10cdots(4n-2);=;(2n)!n!
O conteúdo que vamos usar é princípio de indução matemática (base e passo indutivo) e também a definição de fatorial. Não vamos assumir nada pronto — vou explicar o que é cada coisa na hora que usar.

Passo 2

Base da indução (n=1).
  • Lado esquerdo: só tem um fator, 2cdot6cdot10cdots(4cdot1-2)=4-2=2.
  • Lado direito: (2cdot1)!1!=2!1!=21=2.
    Como dá 2=2, a base está ok!

Passo 3

Hipótese de indução. Suponha que para algum n>=1 já seja verdade
2cdot6cdot10cdots(4n-2);=;(2n)!n!

Passo 4

Passo indutivo (nto n+1). A gente quer mostrar
2cdot6cdot10cdots(4n-2)cdot(4(n+1)-2) ;=;(2(n+1))!(n+1)!
Repare que 4(n+1)-2=4n+2. Então o lado esquerdo fica
l[2cdot6cdot10cdots(4n-2)r]times(4n+2)
Pela hipótese de indução, isso é
(2n)!n!times(4n+2)
Agora veja o lado direito que queremos:
(2(n+1))!(n+1)! =(2n+2)!(n+1)! =(2n+2)(2n+1),(2n)!(n+1),n!
Como (2n+2)/(n+1)=2, isso vira
2,(2n+1),(2n)!n! =(4n+2),(2n)!n!,
que é exatamente o que tínhamos no lado esquerdo. Pronto, o passo indutivo fecha!

Resposta

Logo, por indução, mostramos que para todo n>=1
2cdot6cdot10cdots(4n-2) =(2n)!n!

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