Prove que o cubo de qualquer número inteiro pode ser escrito como a diferença de quadrados. [Sugestão: Note que
Passo 1
Beleza, o enunciado quer que a gente prove que, para todo inteiro
, o seu cubo
pode ser escrito como diferença de dois quadrados.
Conteúdo envolvido:
Conteúdo envolvido:
- Fórmula da soma dos primeiros
cubos:
- Identidade de diferença de quadrados:
Vamos precisar dessas duas ideias pra montar a prova.
Passo 2
A sacada sugerida é notar que
Ou seja,
aparece como “a diferença entre a soma dos primeiros
cubos e a soma dos primeiros
cubos”.
Passo 3
Agora, a gente usa a fórmula da soma de cubos. Primeiro, explicando rapidinho por indução (só pra não dar um pulo muito grande):
- Base
: - Passo indutivo: supondo que
entãoque fecha a indução.
Logo,
Passo 4
Substituindo na diferença que achamos:
Perceba que isso é exatamente uma diferença de quadrados, com
Então está provado:
é a diferença de dois quadrados inteiros.