Prove que o cubo de qualquer número inteiro pode ser escrito como a diferença de quadrados. [Sugestão: Note que
n^3=(1^3+2^3+cdots+n^3)-(1^3+2^3+cdots+(n-1)^3)]

Passo 1

Beleza, o enunciado quer que a gente prove que, para todo inteiro 1^3 + 2^3 + cdots + n^3 = l(tfracn(n+1)2r)^2 , o seu cubo A^2 - B^2 = (A-B)(A+B) pode ser escrito como diferença de dois quadrados.
Conteúdo envolvido:
  1. Fórmula da soma dos primeiros cubos:
  1. Identidade de diferença de quadrados:
Vamos precisar dessas duas ideias pra montar a prova.

Passo 2

A sacada sugerida é notar que
n^3 = l(1^3 + 2^3 + cdots + n^3r);-;l(1^3 + 2^3 + cdots + (n-1)^3r)
Ou seja, aparece como “a diferença entre a soma dos primeiros cubos e a soma dos primeiros cubos”.

Passo 3

Agora, a gente usa a fórmula da soma de cubos. Primeiro, explicando rapidinho por indução (só pra não dar um pulo muito grande):
  • Base 1^3 = l(tfrac1cdot22r)^2 = 1 : sumk=1^n+1 k^3 = l(tfracn(n+1)2r)^2 + (n+1)^3 = (n+1)^2l[tfracn^24 + (n+1)r] = l(tfrac(n+1)(n+2)2r)^2,
  • Passo indutivo: supondo que
    1^3 + 2^3 + cdots + n^3 = l(tfracn(n+1)2r)^2, 1^3 + 2^3 + cdots + (n-1)^3 = l(tfrac(n-1)n2r)^2
    então que fecha a indução.
Logo,

Passo 4

Substituindo na diferença que achamos:
n^3 = l(tfracn(n+1)2r)^2 ;-; l(tfrac(n-1)n2r)^2
Perceba que isso é exatamente uma diferença de quadrados, com
A = tfracn(n+1)2, B = tfrac(n-1)n2
Então está provado: é a diferença de dois quadrados inteiros.

Resposta

boxedn^3 ;=; l(tfracn(n+1)2r)^2 ;-; l(tfrac(n-1)n2r)^2

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