Considere a função
definida por
. Obtenha uma forma mais explícita para as leis que definem cada uma das funções abaixo
(a)
,
(b)
©
,
(d)
,
(e)
,
(f)
,
(g)
,
(h)
, onde
.
(a)
(b)
©
(d)
(e)
(f)
(g)
(h)
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma função quadrática,
, e queremos descobrir formas mais explícitas para várias transformações dessa função. Pra resolver isso, vamos precisar entender como substituições e operações afetam a função original. Vamos analisar cada caso passo a passo!
Passo 2
Parte (a)
:
Aqui, a gente está substituindo
por
na função original. Isso é útil pra entender o comportamento da função em relação ao eixo y.
- Substituímos
por na função: - Calculamos cada termo:
- Então, a função transformada fica:
Passo 3
Parte (b)
:
Aqui, substituímos
por
na função. Isso ajuda a ver como a função se comporta quando variamos reciprocamente os valores de
.
- Substituímos
por : - Calculamos cada termo:
- Então, a função transformada é:
Passo 4
Parte ©
:
Aqui, a gente está escalando o
por um fator de 2. Isso afeta a largura da parábola da função original.
- Substituímos
por : - Calculamos cada termo:
- Então, a função transformada fica:
Passo 5
Parte (d)
:
Aqui, estamos multiplicando a função inteira por 2, o que afeta a amplitude da função.
- Multiplicamos a função original por 2:
- Distribuímos o 2:
- A função transformada é:
Passo 6
Parte (e)
:
Aqui, substituímos
por
na função, o que cria uma composição de funções.
- Substituímos
por : - Calculamos cada termo:
- Então, a função transformada fica:
Passo 7
Parte (f)
:
Aqui, estamos elevando a função original ao quadrado, o que afeta a forma e a amplitude da função.
- Elevamos a função original ao quadrado:
- Expandimos a expressão:
- Então, a função transformada é:
Passo 8
Parte (g)
:
Aqui, estamos fazendo uma translação horizontal da função original. Subtrair 1 dentro da função move o gráfico para a direita.
- Substituímos
por : - Expandimos os termos:
- Somamos tudo:
- A função transformada é:
Passo 9
Parte (h)
, onde
:
Aqui, estamos generalizando a translação horizontal considerando um deslocamento de
.
- Substituímos
por : - Expandimos os termos:
- Somamos tudo:
- Combinamos os termos semelhantes:
- Então, a função transformada é:
Resposta
Após aplicar as transformações solicitadas, as funções resultantes são:
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)