Considere a função f: R -> R definida por f(x) = x^2 - 3x + 4. Obtenha uma forma mais explícita para as leis que definem cada uma das funções abaixo
(a) x -> f(-x),
(b) x -> f(1/x)
© x -> f(2 x),
(d) x -> 2 f(x),
(e) x -> f(x^2),
(f) x mapeia para [f(x)]^2,
(g) x -> f(x-1),
(h) x -> f(x+h), onde h em R.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma função quadrática, , e queremos descobrir formas mais explícitas para várias transformações dessa função. Pra resolver isso, vamos precisar entender como substituições e operações afetam a função original. Vamos analisar cada caso passo a passo!

Passo 2

Parte (a) :
Aqui, a gente está substituindo por na função original. Isso é útil pra entender o comportamento da função em relação ao eixo y.
  1. Substituímos por na função:
  2. Calculamos cada termo:
  3. Então, a função transformada fica:

Passo 3

Parte (b) :
Aqui, substituímos por na função. Isso ajuda a ver como a função se comporta quando variamos reciprocamente os valores de .
  1. Substituímos por :
  2. Calculamos cada termo:
  3. Então, a função transformada é:

Passo 4

Parte © :
Aqui, a gente está escalando o por um fator de 2. Isso afeta a largura da parábola da função original.
  1. Substituímos por :
  2. Calculamos cada termo:
  3. Então, a função transformada fica:

Passo 5

Parte (d) :
Aqui, estamos multiplicando a função inteira por 2, o que afeta a amplitude da função.
  1. Multiplicamos a função original por 2:
  2. Distribuímos o 2:
  3. A função transformada é:

Passo 6

Parte (e) :
Aqui, substituímos por na função, o que cria uma composição de funções.
  1. Substituímos por :
  2. Calculamos cada termo:
  3. Então, a função transformada fica:

Passo 7

Parte (f) :
Aqui, estamos elevando a função original ao quadrado, o que afeta a forma e a amplitude da função.
  1. Elevamos a função original ao quadrado:
  2. Expandimos a expressão:
  3. Então, a função transformada é:

Passo 8

Parte (g) :
Aqui, estamos fazendo uma translação horizontal da função original. Subtrair 1 dentro da função move o gráfico para a direita.
  1. Substituímos por :
  2. Expandimos os termos:
  3. Somamos tudo:
  4. A função transformada é:

Passo 9

Parte (h) , onde :
Aqui, estamos generalizando a translação horizontal considerando um deslocamento de .
  1. Substituímos por :
  2. Expandimos os termos:
  3. Somamos tudo:
  4. Combinamos os termos semelhantes:
  5. Então, a função transformada é:

Resposta

Após aplicar as transformações solicitadas, as funções resultantes são:
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)

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