Nos exercícios de 1 a 29 encontrar a área da região limitada pelas curvas dadas.
e
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a área da região limitada pelas curvas
,
,
e
. Vou te mostrar passo a passo como fazer isso usando cálculo integral.
Passo 2
Primeiro, vamos visualizar as curvas para entender melhor a região que estamos analisando. A curva
é uma senoide que oscila entre -1 e 1, enquanto
é uma reta crescente. As retas verticais
e
delimitam os limites laterais da região.
Passo 3
Nosso objetivo é encontrar a área entre essas curvas no intervalo de
a
. Para isso, vamos usar a integral definida, que calcula a área sob uma curva entre dois pontos.
Passo 4
Primeiro, precisamos saber qual das funções está por cima da outra no intervalo dado. Vamos avaliar as duas funções nos extremos do intervalo:
-
Em
: Aqui, a retaestá acima da senoide. -
Em
: Novamente, a reta está acima da senoide.
Isso significa que, em todo o intervalo de integração, a reta
está acima de
.
Passo 5
A fórmula para a área
entre duas curvas
e
, onde
no intervalo
, é:
Aplicando isso ao nosso caso:
Passo 6
Agora, vamos resolver a integral:
Vamos integrar cada termo separadamente:
Então, a integral fica:
Passo 7
Agora, vamos calcular o valor da expressão no limite superior
:
Sabendo que
, temos:
Agora, no limite inferior
:
Passo 8
Subtraindo o valor no limite inferior do superior:
Resposta
A área da região limitada pelas curvas é: