Nos exercícios de 1 a 29 encontrar a área da região limitada pelas curvas dadas. y = sen(2 x), y = x + 2, x = 0 e x = pi / 2

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a área da região limitada pelas curvas , , e . Vou te mostrar passo a passo como fazer isso usando cálculo integral.

Passo 2

Primeiro, vamos visualizar as curvas para entender melhor a região que estamos analisando. A curva é uma senoide que oscila entre -1 e 1, enquanto é uma reta crescente. As retas verticais e delimitam os limites laterais da região.

Passo 3

Nosso objetivo é encontrar a área entre essas curvas no intervalo de a . Para isso, vamos usar a integral definida, que calcula a área sob uma curva entre dois pontos.

Passo 4

Primeiro, precisamos saber qual das funções está por cima da outra no intervalo dado. Vamos avaliar as duas funções nos extremos do intervalo:
  • Em :
    Aqui, a reta está acima da senoide.
  • Em :
    Novamente, a reta está acima da senoide.
Isso significa que, em todo o intervalo de integração, a reta está acima de .

Passo 5

A fórmula para a área entre duas curvas e , onde no intervalo , é:
Aplicando isso ao nosso caso:

Passo 6

Agora, vamos resolver a integral:
Vamos integrar cada termo separadamente:
Então, a integral fica:

Passo 7

Agora, vamos calcular o valor da expressão no limite superior :
Sabendo que , temos:
Agora, no limite inferior :

Passo 8

Subtraindo o valor no limite inferior do superior:

Resposta

A área da região limitada pelas curvas é:

Exercícios relacionados