Se
satisfaz
para todo
então verifique que
.
Passo 1
Beleza, então a gente tem uma função
definida no intervalo
que satisfaz a condição
para todo
em
. O objetivo aqui é mostrar que a integral de
de
até
é igual a zero, ou seja,
. Vamos usar conceitos de simetria de funções e propriedades de integrais para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos dividir a integral em duas partes: de
até
e de
até
. Assim, temos:
Isso ajuda a facilitar a análise, já que vamos trabalhar com cada intervalo separadamente.
Passo 3
Agora, vamos focar na segunda integral, de
até
. Vamos fazer uma mudança de variável para simplificar. Seja
. Quando
vai de
a
,
vai de
a
. Reescrevendo a integral:
(Usei que
, por isso troquei os limites e o sinal negativo desapareceu)
Passo 4
Lembrando da condição dada,
. Substituindo na integral:
Então, voltando à nossa expressão original:
Resposta
Portanto,
.