Se h:[0,2 L] longrightarrow R satisfaz h(2 L-t)=-h(t) para todo t in[0, L] então verifique que integral0^2 L h(t) d t=0.

Passo 1

Beleza, então a gente tem uma função definida no intervalo que satisfaz a condição para todo em . O objetivo aqui é mostrar que a integral de de até é igual a zero, ou seja, . Vamos usar conceitos de simetria de funções e propriedades de integrais para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos dividir a integral em duas partes: de integral0^2L h(t) , dt = integral0^L h(t) , dt + integralL^2L h(t) , dt até e de até . Assim, temos:
Isso ajuda a facilitar a análise, já que vamos trabalhar com cada intervalo separadamente.

Passo 3

Agora, vamos focar na segunda integral, de integralL^2L h(t) , dt = integralL^0 h(2L - t') (-dt') = integral0^L h(2L - t') , dt' até . Vamos fazer uma mudança de variável para simplificar. Seja . Quando vai de a , vai de a . Reescrevendo a integral:
(Usei que , por isso troquei os limites e o sinal negativo desapareceu)

Passo 4

Lembrando da condição dada, integral0^L h(2L - t') , dt' = integral0^L -h(t') , dt' = -integral0^L h(t') , dt' . Substituindo na integral:
integral0^2L h(t) , dt = integral0^L h(t) , dt + (-integral0^L h(t) , dt) = 0
Então, voltando à nossa expressão original:

Resposta

Portanto, .

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