Nos exercícios de 1 a 29 encontrar a área da região limitada pelas curvas dadas. e
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que a gente precisa fazer. A questão pede para encontrar a área da região que fica limitada por três curvas: , e . Isso envolve conhecimentos de cálculo, especificamente de integração para calcular áreas entre curvas. Vamos precisar identificar os pontos de interseção dessas curvas e configurar a integral correta para encontrar a área desejada.
Passo 2
Primeiro, vamos entender cada uma das curvas:
: Essa é a função arco seno, que nos dá o ângulo cujo seno é . O domínio dessa função é , e seu intervalo está entre e .
: Essa é uma reta horizontal constante.
: É o eixo das ordenadas, ou seja, o eixo vertical.
Passo 3
Vamos encontrar os pontos onde essas curvas se intersectam:
Entre e :
Igualamos as duas equações:O arco seno de igual a ocorre quando .
Entre e :
Quando , .
Então, os pontos de interseção são e .
Passo 4
Agora, vamos visualizar a região que queremos encontrar a área. Ela está limitada pela curva de a , pela reta horizontal , e pelo eixo . Para calcular a área dessa região, vamos integrar a diferença entre a reta e a função arco seno:
Passo 5
Vamos resolver a integral passo a passo. Primeiro, separamos a integral em duas partes:
A primeira integral é simples:
Passo 6
Agora, vamos resolver a segunda integral: .
Para isso, usamos a integração por partes, onde escolhemos:
⇒
⇒
A fórmula da integração por partes é:
Aplicando:
Passo 7
Vamos calcular :
Para :
Para :
Então,
Agora, precisamos calcular a integral restante:
Passo 8
Para resolver , fazemos uma substituição:
Seja ⇒ ⇒
Substituindo:
Então, a integral definida de 0 a 1 é:
Passo 9
Voltando à integração por partes:
Passo 10
Agora, substituímos de volta na expressão da área:
Á
Resposta
A área da região limitada pelas curvas , e é igual a 1 unidade de área.