Nos exercícios de 1 a 29 encontrar a área da região limitada pelas curvas dadas. y = arcsen(x), y = pi / 2 e x = 0

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a gente precisa fazer. A questão pede para encontrar a área da região que fica limitada por três curvas: , e . Isso envolve conhecimentos de cálculo, especificamente de integração para calcular áreas entre curvas. Vamos precisar identificar os pontos de interseção dessas curvas e configurar a integral correta para encontrar a área desejada.

Passo 2

Primeiro, vamos entender cada uma das curvas:
  • : Essa é a função arco seno, que nos dá o ângulo cujo seno é . O domínio dessa função é , e seu intervalo está entre e .
  • : Essa é uma reta horizontal constante.
  • : É o eixo das ordenadas, ou seja, o eixo vertical.

Passo 3

Vamos encontrar os pontos onde essas curvas se intersectam:
  • Entre e :
    Igualamos as duas equações: O arco seno de igual a ocorre quando .
  • Entre e :
    Quando , .
Então, os pontos de interseção são e .

Passo 4

Agora, vamos visualizar a região que queremos encontrar a área. Ela está limitada pela curva de a , pela reta horizontal , e pelo eixo . Para calcular a área dessa região, vamos integrar a diferença entre a reta e a função arco seno:
Á

Passo 5

Vamos resolver a integral passo a passo. Primeiro, separamos a integral em duas partes:
A primeira integral é simples:

Passo 6

Agora, vamos resolver a segunda integral: .
Para isso, usamos a integração por partes, onde escolhemos:
A fórmula da integração por partes é:
Aplicando:

Passo 7

Vamos calcular :
  • Para :
  • Para :
Então,
Agora, precisamos calcular a integral restante:

Passo 8

Para resolver , fazemos uma substituição:
Seja
Substituindo:
Então, a integral definida de 0 a 1 é:

Passo 9

Voltando à integração por partes:

Passo 10

Agora, substituímos de volta na expressão da área:
Á

Resposta

A área da região limitada pelas curvas , e é igual a 1 unidade de área.

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