Nos exercícios de 1 a 29 encontrar a área da região limitada pelas curvas dadas. e .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a área da região que está limitada pelas curvas , e a reta vertical . Para isso, vamos usar um pouco de cálculo, especificamente integrais, que ajudam a calcular áreas entre curvas.
Passo 2
Primeiro, vamos entender onde essas curvas se encontram. Precisamos achar os pontos de interseção entre e . Para isso, igualamos as duas expressões:
Essa equação não é fácil de resolver algebricamente, então vamos usar uma aproximação gráfica ou numérica para encontrar o valor de onde isso acontece. Vamos ver os valores de e para alguns :
Para : e → ponto de interseção em .
Para : e → não é intersecção.
Portanto, o único ponto de interseção é quando .
Passo 3
Agora, vamos identificar os limites de integração. Sabemos que a reta vertical também faz parte das fronteiras da região. Então, nosso intervalo de integração vai de a .
Passo 4
Para calcular a área entre duas curvas, usamos a fórmula:
Onde é a curva de cima e é a curva de baixo no intervalo considerado. Vamos determinar qual função está acima da outra entre e .
Para :Então, está acima de nesse intervalo.
Passo 5
Agora, aplicamos a fórmula da área:
Passo 6
Vamos calcular a integral:
Passo 7
Somando tudo:
Á
Resposta
A área da região limitada pelas curvas dadas é unidades quadradas.