Nos exercícios de 1 a 29 encontrar a área da região limitada pelas curvas dadas. y = e^x - 1, y = -x e x = 1.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a área da região que está limitada pelas curvas , e a reta vertical . Para isso, vamos usar um pouco de cálculo, especificamente integrais, que ajudam a calcular áreas entre curvas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender onde essas curvas se encontram. Precisamos achar os pontos de interseção entre e . Para isso, igualamos as duas expressões:
Essa equação não é fácil de resolver algebricamente, então vamos usar uma aproximação gráfica ou numérica para encontrar o valor de onde isso acontece. Vamos ver os valores de e para alguns :
  • Para : e → ponto de interseção em .
  • Para : e → não é intersecção.
Portanto, o único ponto de interseção é quando .

Passo 3

Agora, vamos identificar os limites de integração. Sabemos que a reta vertical também faz parte das fronteiras da região. Então, nosso intervalo de integração vai de a .

Passo 4

Para calcular a área entre duas curvas, usamos a fórmula:
Á
Onde é a curva de cima e é a curva de baixo no intervalo considerado. Vamos determinar qual função está acima da outra entre e .
  • Para : Então, está acima de nesse intervalo.

Passo 5

Agora, aplicamos a fórmula da área:
Á

Passo 6

Vamos calcular a integral:

Passo 7

Somando tudo:
Á

Resposta

A área da região limitada pelas curvas dadas é unidades quadradas.

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