Seja f: R^2 R^3 definida por
f(s, t)=(s-t, s+t, s)
e g: R^3 R definida por
g(x, y, z)=x y-z^2
Mostrar, utilizando a regra da cadeia, que partials(g circ f)(s, t)=0.

Passo 1

O enunciado define
f(s,t) = (s - t,;s + t,;s)
e
g(x,y,z) = x,y - z^2,
e pede para calcular partials(gcirc f)(s,t) usando a regra da cadeia para funções de várias variáveis. Vamos precisar das derivadas parciais de g e das derivadas parciais dos componentes de f.

Passo 2

Calcular as derivadas parciais de g. Como
g(x,y,z) = x,y - z^2,
temos
partial gpartial x(x,y,z) = y, partial gpartial y(x,y,z) = x, partial gpartial z(x,y,z) = -2,z

Passo 3

Calcular as derivadas parciais dos componentes de f em relação a s. Se
f(s,t) = l(f1(s,t),f2(s,t),f3(s,t)r) = l(s - t,;s + t,;sr),
então
partialsf1(s,t) = 1, partialsf2(s,t) = 1, partialsf3(s,t) = 1

Passo 4

Aplicar a regra da cadeia para obter partials(gcirc f):
partials(gcirc f)(s,t) = partial gpartial xl(f(s,t)r),partialsf1(s,t) + partial gpartial yl(f(s,t)r),partialsf2(s,t) + partial gpartial zl(f(s,t)r),partialsf3(s,t)
Como f(s,t) = (s-t,;s+t,;s), substituindo cada termo:
partial gpartial xl(f(s,t)r) = s+t, partial gpartial yl(f(s,t)r) = s-t, partial gpartial zl(f(s,t)r) = -2,s

Passo 5

Agora combinamos tudo e simplificamos:
partials(gcirc f)(s,t) = (s+t)cdot1 ;+;(s-t)cdot1 ;+;(-2s)cdot1 = s+t + s - t - 2s = 0

Resposta

partials(gcirc f)(s,t)=0.

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