(a) F é contínua em x=0 ? Justifique.
(b) Para qual alpha, F é contínua em x=3 ?
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Passo 1
Beleza, vamos resumir o que a questão pede. A gente tem uma função F definida por partes:
F(x)= x, & x<= 0, x^2+1, & x>0, alpha, & x=3
O assunto é continuidade de funções em um ponto. Para verificar se F é contínua em um ponto a, precisamos:
Saber o valor de F(a).
Calcular limxto aF(x), olhando nos dois lados (ou lateral, se for caso especial).
Ver se limxto aF(x)=F(a).
No x=0 rola limite de dois lados; no x=3 a gente vai usar o ramo x^2+1 para calcular o limite e igualar ao alpha.
Passo 2
Vamos checar a continuidade em x=0.
Valor da função em 0: como 0<= 0, usamos o ramo F(x)=x. Logo
F(0)=0
Limite quando xto 0:
Pela esquerda (xto0^-), F(x)=x, então
limxto0^-F(x)=limxto0^-x=0
Pela direita (xto0^+), agora x>0 e F(x)=x^2+1, daí
limxto0^+F(x)=limxto0^+(x^2+1)=0^2+1=1
Como os dois limites laterais não são iguais (0neq1), o limite limxto0F(x) não existe de forma única. Logo não bate com F(0)=0, e aí não é contínua em 0.
Passo 3
Agora em x=3. Repare que, fora o “ponto especial” onde definiram F(3)=alpha, para valores próximos de 3 (seja x<3 ou x>3) cai no ramo x^2+1.
Valor da função em 3: por definição especial,
F(3)=alpha
Limite quando xto3: como nos dois lados vale F(x)=x^2+1,
limxto3F(x)=limxto3(x^2+1)=3^2+1=10
Para ser contínua, precisamos
limxto3F(x)=F(3) Longrightarrow 10=alpha
Resposta
(a) Não, F não é contínua em x=0.
(b) Para que F seja contínua em x=3, é necessário alpha=10.