Resolva os problemas de valor inicial dados.
(\left(e^{x}+y\right) d x+\left(2+x+y e^{y}\right) d y=0, \quad y(0)=1)

Passo 1

O enunciado pede para resolver o problema de valor inicial
(e^x+y),dx + (2+x+y,e^y),dy = 0, y(0)=1
Este é um caso clássico de equação diferencial exata.

Passo 2

Identificamos
M(x,y)=e^x+y, N(x,y)=2+x+y,e^y
Calculamos
partial Mpartial y=1, partial Npartial x=1,
como são iguais, a equação é exata.

Passo 3

Procuramos uma função potencial Phi(x,y) tal que Phix=M. Integrando em x:
Phi(x,y)=integral (e^x+y),dx = e^x + x,y + h(y)

Passo 4

Impondo Phiy=N, temos
Phiy = x + h'(y) = 2 + x + y,e^y ;;Longrightarrow;; h'(y)=2 + y,e^y
Integrando em y:
h(y)=2y + (y-1)e^y
Logo a solução implícita geral é
Phi(x,y)=e^x + x,y + 2y + (y-1)e^y = C

Passo 5

Usamos a condição inicial y(0)=1:
Phi(0,1)=1 + 0 + 2 + (1-1)e^1 = 3 ;;Longrightarrow;; C=3
Portanto a solução que satisfaz y(0)=1 é dada implicitamente por
e^x + x,y + 2y + (y-1)e^y = 3

Resposta

e^x + x,y + 2y + (y-1)e^y = 3

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