Resolva os problemas de valor inicial dados.
(\left(e^{x}+y\right) d x+\left(2+x+y e^{y}\right) d y=0, \quad y(0)=1)
(\left(e^{x}+y\right) d x+\left(2+x+y e^{y}\right) d y=0, \quad y(0)=1)
Passo 1
O enunciado pede para resolver o problema de valor inicial
Este é um caso clássico de equação diferencial exata.
Passo 2
Identificamos
Calculamos
como são iguais, a equação é exata.
Passo 3
Procuramos uma função potencial
tal que
. Integrando em
:
Passo 4
Impondo
, temos
Integrando em
:
Logo a solução implícita geral é
Passo 5
Usamos a condição inicial
:
Portanto a solução que satisfaz
é dada implicitamente por