Considere a função f(x) definida nos pontos, conforme tabela:
x 0 0.5 1.0
f(x) 1.3 2.5 0.9
Determine o polinômio interpolador, usando a fórmula de Lagrange, que interpola todo o conjunto de pontos e estime f(0.8). Considere precisão de quatro casas decimais.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma função f(x) definida em três pontos: x = 0 , x = 0.5 e x = 1.0 , com os respectivos valores de f(x) sendo 1.3, 2.5 e 0.9. O objetivo é encontrar um polinômio interpolador usando a fórmula de Lagrange que passa por esses pontos e, com esse polinômio, estimar o valor de f(0.8) . Para isso, a gente vai precisar entender como funciona a interpolação polinomial de Lagrange e aplicar a fórmula passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é a fórmula de Lagrange. É um método para encontrar um polinômio que passa exatamente por um conjunto de pontos dados. No nosso caso, temos três pontos, então vamos procurar um polinômio de segundo grau (porque um polinômio de grau n-1 interpolará n pontos).
A fórmula geral do polinômio de Lagrange é:
P(x) = sumi=0^n f(xi) cdot Li(x)
onde Li(x) são os polinômios de base de Lagrange, definidos por:
Li(x) = prodsubstackj=0 j neq i^n x - xjxi - xj
No nosso caso, n = 2 , já que temos três pontos ( x0, x1, x2 ).

Passo 3

Vamos identificar nossos pontos:
x0 = 0, f(x0) = 1.3
x1 = 0.5, f(x1) = 2.5
x2 = 1.0, f(x2) = 0.9
Agora, vamos construir cada polinômio de base Li(x) .
Primeiro, para L0(x) :
L0(x) = (x - x1)(x - x2)(x0 - x1)(x0 - x2)
L0(x) = (x - 0.5)(x - 1.0)(0 - 0.5)(0 - 1.0) = (x - 0.5)(x - 1)( -0.5)(-1) = (x - 0.5)(x - 1)0.5
Simplificando:
L0(x) = 2(x - 0.5)(x - 1)
Agora, para L1(x) :
L1(x) = (x - x0)(x - x2)(x1 - x0)(x1 - x2)
L1(x) = (x - 0)(x - 1.0)(0.5 - 0)(0.5 - 1.0) = x(x - 1)0.5 times (-0.5) = x(x - 1)-0.25
Simplificando:
L1(x) = -4x(x - 1)
E por último, para L2(x) :
L2(x) = (x - x0)(x - x1)(x2 - x0)(x2 - x1)
L2(x) = (x - 0)(x - 0.5)(1.0 - 0)(1.0 - 0.5) = x(x - 0.5)1 times 0.5 = x(x - 0.5)0.5
Simplificando:
L2(x) = 2x(x - 0.5)

Passo 4

Agora que temos os polinômios de base L0(x) , L1(x) e L2(x) , podemos montar o polinômio interpolador P(x) :
P(x) = f(x0)L0(x) + f(x1)L1(x) + f(x2)L2(x)
P(x) = 1.3 cdot 2(x - 0.5)(x - 1) + 2.5 cdot (-4x(x - 1)) + 0.9 cdot 2x(x - 0.5)
Vamos simplificar cada termo:
Primeiro termo:
1.3 cdot 2(x - 0.5)(x - 1) = 2.6(x - 0.5)(x - 1)
Segundo termo:
2.5 cdot (-4x(x - 1)) = -10x(x - 1)
Terceiro termo:
0.9 cdot 2x(x - 0.5) = 1.8x(x - 0.5)

Passo 5

Vamos agora expandir e simplificar cada parte:
Expansão do primeiro termo:
2.6(x - 0.5)(x - 1) = 2.6(x^2 - 1.5x + 0.5)
= 2.6x^2 - 3.9x + 1.3
Expansão do segundo termo:
-10x(x - 1) = -10x^2 + 10x
Expansão do terceiro termo:
1.8x(x - 0.5) = 1.8x^2 - 0.9x
Agora, somamos todos os termos:
P(x) = (2.6x^2 - 3.9x + 1.3) + (-10x^2 + 10x) + (1.8x^2 - 0.9x)
Vamos combinar os termos semelhantes:
Somando os x^2 :
2.6x^2 - 10x^2 + 1.8x^2 = (-5.6x^2)
Somando os x :
-3.9x + 10x - 0.9x = 5.2x
Somando os termos constantes:
1.3
Então, o polinômio fica:
P(x) = -5.6x^2 + 5.2x + 1.3

Passo 6

Agora que temos o polinômio interpolador P(x) , podemos usá-lo para estimar f(0.8) . Vamos substituir x = 0.8 na expressão do polinômio:
P(0.8) = -5.6(0.8)^2 + 5.2(0.8) + 1.3
Primeiro, calculamos (0.8)^2 = 0.64 :
P(0.8) = -5.6 times 0.64 + 5.2 times 0.8 + 1.3
= -3.584 + 4.16 + 1.3
Agora, somamos os termos:
-3.584 + 4.16 = 0.576
0.576 + 1.3 = 1.876

Resposta

Portanto, a estimativa de f(0.8) usando o polinômio interpolador de Lagrange é 1.8760.

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