Considere a função
definida nos pontos, conforme tabela:
x | 0 | 0.5 | 1.0 |
---|---|---|---|
|
1.3 | 2.5 | 0.9 |
Determine o polinômio interpolador, usando a fórmula de Lagrange, que interpola todo o conjunto de pontos e estime
. Considere precisão de quatro casas decimais.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma função
definida em três pontos:
,
e
, com os respectivos valores de
sendo 1.3, 2.5 e 0.9. O objetivo é encontrar um polinômio interpolador usando a fórmula de Lagrange que passa por esses pontos e, com esse polinômio, estimar o valor de
. Para isso, a gente vai precisar entender como funciona a interpolação polinomial de Lagrange e aplicar a fórmula passo a passo.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é a fórmula de Lagrange. É um método para encontrar um polinômio que passa exatamente por um conjunto de pontos dados. No nosso caso, temos três pontos, então vamos procurar um polinômio de segundo grau (porque um polinômio de grau
interpolará
pontos).
A fórmula geral do polinômio de Lagrange é:
onde
são os polinômios de base de Lagrange, definidos por:
No nosso caso,
, já que temos três pontos (
).
Passo 3
Vamos identificar nossos pontos:
Agora, vamos construir cada polinômio de base
.
Primeiro, para
:
Simplificando:
Agora, para
:
Simplificando:
E por último, para
:
Simplificando:
Passo 4
Agora que temos os polinômios de base
,
e
, podemos montar o polinômio interpolador
:
Vamos simplificar cada termo:
Primeiro termo:
Segundo termo:
Terceiro termo:
Passo 5
Vamos agora expandir e simplificar cada parte:
Expansão do primeiro termo:
Expansão do segundo termo:
Expansão do terceiro termo:
Agora, somamos todos os termos:
Vamos combinar os termos semelhantes:
Somando os
:
Somando os
:
Somando os termos constantes:
Então, o polinômio fica:
Passo 6
Agora que temos o polinômio interpolador
, podemos usá-lo para estimar
. Vamos substituir
na expressão do polinômio:
Primeiro, calculamos
:
Agora, somamos os termos:
Resposta
Portanto, a estimativa de
usando o polinômio interpolador de Lagrange é 1.8760.