EXERCÍCIOS
Use a fórmula integral de Cauchy para calcular as integrais descritas nos Exercs. 1 a 13, onde os contornos são todos percorridos no sentido anti-horário.
oint|z|=1 raizz+51+2 z d z.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral de contorno
oint|z|=1 raizz+51+2z,dz
no sentido anti-horário, usando a fórmula integral de Cauchy.

Passo 2

Identificamos que a única singularidade de dfracraizz+51+2z é o pólo simples em
1+2z=0;Longrightarrow;z0=-tfrac12,
que fica dentro do círculo |z|=1. A função raizz+5 pode ser tomada no ramo principal (corte ao longo do eixo real negativo deslocado), e é analítica em todo interior e na fronteira de |z|=1 pois z+5 varia no disco centrado em 5.

Passo 3

Reescrevendo a integral como
oint|z|=1raizz+51+2z,dz =oint|z|=112,raizz+5z-(-tfrac12),dz,
podemos aplicar a fórmula de Cauchy (ou teorema dos resíduos) para pólo simples:
oint|z|=1f(z)z-z0,dz = 2pi i,f(z0)
Aqui f(z)=tfrac12raizz+5 e z0=-tfrac12. Logo
oint|z|=1raizz+51+2z,dz =2pi i;12,raiz-tfrac12+5 =pi i,raiztfrac92

Passo 4

Bastapara finalizar notar que
raiztfrac92=3raiz2=3raiz22,
logo
pi i,raiztfrac92 =pi i,3raiz22 =3raiz2,pi i2

Resposta

oint|z|=1raizz+51+2z,dz =3raiz2,pi i2

Exercícios relacionados