EXERCÍCIOS
Use a fórmula integral de Cauchy para calcular as integrais descritas nos Exercs. 1 a 13, onde os contornos são todos percorridos no sentido anti-horário.
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Use a fórmula integral de Cauchy para calcular as integrais descritas nos Exercs. 1 a 13, onde os contornos são todos percorridos no sentido anti-horário.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral de contorno
no sentido anti-horário, usando a fórmula integral de Cauchy.
Passo 2
Identificamos que a única singularidade de
é o pólo simples em
que fica dentro do círculo
. A função
pode ser tomada no ramo principal (corte ao longo do eixo real negativo deslocado), e é analítica em todo interior e na fronteira de
pois
varia no disco centrado em
.
Passo 3
Reescrevendo a integral como
podemos aplicar a fórmula de Cauchy (ou teorema dos resíduos) para pólo simples:
Aqui
e
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Passo 4
Bastapara finalizar notar que
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