Encontre a solução de cada PVI:
(f) ly^(3)-2 y^prime=4 t y(0)=y^prime(0)=0, y^prime prime(0)=4

Passo 1

O enunciado pede para resolver o PVI
y''' - 2y' = 4t, y(0)=0,;y'(0)=0,;y''(0)=4
Conteúdo: equações diferenciais lineares de ordem 3 com coeficientes constantes. Vamos achar a solução geral da homogênea via equação característica, em seguida uma solução particular por coeficientes a determinar, e finalmente impor as condições iniciais.

Passo 2

Solução da homogênea. A equação característica é
r^3 - 2r = 0 ;Longrightarrow; r(r^2 - 2)=0
com raízes r=0,pmraiz2. Logo
yh(t) = C1 + C2e^raiz2t + C3e^-raiz2t

Passo 3

Solução particular. Como o termo não homogêneo é 4t (polinômio de grau 1) e r=0 é raiz simples, tomamos o palpite
yp(t) = a,t^2 + b,t
Calculamos
yp' = 2a,t + b, yp'' = 2a, yp'''=0,
e substituímos em y''' - 2y':
0 - 2(2a,t + b) = -4a,t -2b stackrel!= 4t
Comparando coeficientes: -4a=4implies a=-1 e -2b=0implies b=0. Então
yp(t) = -,t^2

Passo 4

Solução geral do PVI:
y(t) = yh(t) + yp(t) = C1 + C2e^raiz2t + C3e^-raiz2t - t^2
Agora aplicamos as condições y(0)=0, y'(0)=0, y''(0)=4.

Passo 5

Derivadas de y:
y'(t) = C2raiz2,e^raiz2t - C3raiz2,e^-raiz2t -2t,
y''(t) = 2C2,e^raiz2t + 2C3,e^-raiz2t -2
Em t=0:
  1. y(0)=C1 + C2 + C3 = 0
  2. y'(0)=raiz2(C2 - C3)=0implies C2=C3
  3. y''(0)=2(C2+C3)-2=4implies 2cdot2C2 -2=4implies 4C2=6implies C2=3/2.
    Logo C3=3/2 e C1 = -C2 - C3 = -3.

Passo 6

Substituindo as constantes:
y(t) = -3 + tfrac32e^raiz2t + tfrac32e^-raiz2t - t^2 = 3coshl(raiz2,tr) - 3 - t^2

Resposta

y(t) = 3coshl(raiz2,tr) - 3 - t^2

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