Considere a função f: R R definida por f(x)=x^2+3 x-4.
(i) (5 pontos) Determine o ponto do gráfico de f de abscissa 2, isto é, o par (2, f(2)).
(ii) (10 pontos) Encontre o coeficiente angular da reta tangente ao gráfico de f no ponto (2, f(2)) através do limite
lim x 2 f(x)-f(2)x-2
(iii) (10 pontos) Determine a equação da reta tangente ao gráfico de f no ponto (2, f(2)).

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a gente tem aqui. A função é f(x) = x^2 + 3x - 4 . A gente precisa fazer três coisas:
  1. Encontrar o ponto no gráfico de f quando x = 2 , ou seja, o par (2, f(2)) .
  2. Descobrir o coeficiente angular da reta tangente nesse ponto usando o limite lim x 2 f(x)-f(2)x-2.
  3. Com base nisso, determinar a equação da reta tangente no ponto (2, f(2)) .
Vamos resolver passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o ponto (2, f(2)) . Isso significa que precisamos calcular f(2) .
Substituindo x = 2 na função:
f(2) = (2)^2 + 3 times 2 - 4 = 4 + 6 - 4 = 6
Então, o ponto que estamos procurando é (2, 6) .

Passo 3

Agora, vamos encontrar o coeficiente angular da reta tangente no ponto (2, 6) . Para isso, usamos o limite que representa a derivada:
lim x 2 f(x)-f(2)x-2
Vamos calcular isso passo a passo.
Primeiro, substituímos f(x) e f(2) :
f(x) - f(2) = (x^2 + 3x - 4) - 6 = x^2 + 3x - 10
Então, a expressão fica:
lim x 2 x^2 + 3x - 10x - 2
Agora, vamos fatorar o numerador:
x^2 + 3x - 10 = (x - 2)(x + 5)
Então, a expressão simplifica para:
lim x 2 (x - 2)(x + 5)x - 2 = lim x 2 (x + 5) = 7
Portanto, o coeficiente angular da reta tangente é 7.

Passo 4

Por último, vamos encontrar a equação da reta tangente no ponto (2, 6) com coeficiente angular 7. A forma da equação da reta é:
y - y1 = m(x - x1)
Onde:
  • m é o coeficiente angular,
  • (x1, y1) é o ponto dado.
Substituindo os valores:
y - 6 = 7(x - 2)
Distribuindo o 7:
y - 6 = 7x - 14
E finalmente, isolando o y :
y = 7x - 8

Resposta

(i) O ponto é (2, 6) .
(ii) O coeficiente angular da reta tangente é 7.
(iii) A equação da reta tangente é y = 7x - 8 .

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