Considere a função
definida por
.
(i) (5 pontos) Determine o ponto do gráfico de
de abscissa 2, isto é, o par
.
(ii) (10 pontos) Encontre o coeficiente angular da reta tangente ao gráfico de
no ponto
através do limite
(iii) (10 pontos) Determine a equação da reta tangente ao gráfico de
no ponto
.
(i) (5 pontos) Determine o ponto do gráfico de
(ii) (10 pontos) Encontre o coeficiente angular da reta tangente ao gráfico de
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a gente tem aqui. A função é
. A gente precisa fazer três coisas:
- Encontrar o ponto no gráfico de
quando , ou seja, o par . - Descobrir o coeficiente angular da reta tangente nesse ponto usando o limite
. - Com base nisso, determinar a equação da reta tangente no ponto
.
Vamos resolver passo a passo!
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar o ponto
. Isso significa que precisamos calcular
.
Substituindo
na função:
Então, o ponto que estamos procurando é
.
Passo 3
Agora, vamos encontrar o coeficiente angular da reta tangente no ponto
. Para isso, usamos o limite que representa a derivada:
Vamos calcular isso passo a passo.
Primeiro, substituímos
e
:
Então, a expressão fica:
Agora, vamos fatorar o numerador:
Então, a expressão simplifica para:
Portanto, o coeficiente angular da reta tangente é 7.
Passo 4
Por último, vamos encontrar a equação da reta tangente no ponto
com coeficiente angular 7. A forma da equação da reta é:
Onde:
-
é o coeficiente angular, -
é o ponto dado.
Substituindo os valores:
Distribuindo o 7:
E finalmente, isolando o
:
Resposta
(i) O ponto é
.
(ii) O coeficiente angular da reta tangente é 7.
(iii) A equação da reta tangente é
.