a)
for convergente, prove que
b) Considere a sequência de Fibonacci definida recursivamente por
Seja
o crescimento do número de pares de coelhos de um mês para o mês seguinte. Assumindo que existe
, calcule este limite. (Dica: Primeiro mostre que
.
Passo 1
O exercício trata de sequências e seus limites. Na parte (a) queremos mostrar que, se
converge para algum limite
, então a sequência “deslocada”
também converge para o mesmo
. Na parte (b) temos a sequência de Fibonacci
e definimos
Assumindo que
existe (digamos igual a
), nosso objetivo é determinar
.
Passo 2
Prova de que, se
, então
.
Pela definição de limite, para todo existe
tal que, para todo
,
Pela definição de limite, para todo
Mas então, sempre que
, temos
, logo
Isto mostra que, segundo a mesma definição,
.
Passo 3
Derivação da relação de recorrência para
.
Pela definição de Fibonacci,
Pela definição de Fibonacci,
Dividindo ambos os lados por
, obtemos para
:
isto é,
Renomeando índices (ou simplesmente reescrevendo para
), é equivalente a
Passo 4
Cálculo do limite
.
Assumindo que , pela parte (a) temos também
. Tomando limite na recorrência
Assumindo que
vem
Multiplicando por
e reorganizando:
As raízes desta equação quadrática são
Como todos os
são positivos, o limite
deve ser a raiz positiva:
Resposta
a) Se
, então
.
b)
b)