a) Sean for convergente, prove que
lim n infty an+1=lim n infty an
b) Considere a sequência de Fibonacci definida recursivamente por
fn+1=fn+fn-1, f1=1, f0=0
Seja an=fn+1fn o crescimento do número de pares de coelhos de um mês para o mês seguinte. Assumindo que existe lim n infty an, calcule este limite. (Dica: Primeiro mostre que an-1=1+1an-2).

Passo 1

O exercício trata de sequências e seus limites. Na parte (a) queremos mostrar que, se an converge para algum limite L, então a sequência “deslocada” an+1 também converge para o mesmo L. Na parte (b) temos a sequência de Fibonacci fn e definimos
an = fn+1fn
Assumindo que limntoinftyan existe (digamos igual a A), nosso objetivo é determinar A.

Passo 2

Prova de que, se limntoinftyan = L, então limntoinftyan+1=L.
Pela definição de limite, para todo varepsilon>0 existe N tal que, para todo n>= N,
|an - L| < varepsilon
Mas então, sempre que n>= N, temos n+1>= N+1, logo
|an+1 - L| < varepsilon
Isto mostra que, segundo a mesma definição, limntoinftyan+1=L.

Passo 3

Derivação da relação de recorrência para an.
Pela definição de Fibonacci,
fn = fn-1 + fn-2 (n>=2)
Dividindo ambos os lados por fn-1, obtemos para n>=2:
fnfn-1 = 1 + fn-2fn-1,
isto é,
an-1 = 1 + 1an-2
Renomeando índices (ou simplesmente reescrevendo para an), é equivalente a
an = 1 + 1an-1 (n>=1)

Passo 4

Cálculo do limite A=limntoinftyan.
Assumindo que anto A, pela parte (a) temos também an-1to A. Tomando limite na recorrência
an = 1 + 1an-1
vem
A = 1 + 1A
Multiplicando por A e reorganizando:
A^2 = A + 1 ;Longrightarrow; A^2 - A - 1 = 0
As raízes desta equação quadrática são
A = 1 pm raiz1 + 42 = 1 pm raiz52
Como todos os an são positivos, o limite A deve ser a raiz positiva:
A = 1 + raiz52

Resposta

a) Se limntoinftyan=L, então limntoinftyan+1=L.
b) limntoinfty fn+1fn = 1 + raiz52

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