Questão 3. (10 pontos) Mostre que os gráficos de f(x)=ln (x) e g(x)=2^x-3 se interceptam em algum ponto com abscissa no intervalo [1, e]. (Dica: lembre que ln (1)=0 e ln (e)=1).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente mostrar que os gráficos das funções f(x) = ln(x) e g(x) = 2^x - 3 se cruzam em algum ponto cujo valor de x está entre 1 e e . Para resolver isso, vamos usar o Teorema do Valor Intermediário, que nos ajuda a garantir que uma função contínua atinge todos os valores entre dois pontos. Vamos precisar lembrar dos valores de ln(1) = 0 e ln(e) = 1 para facilitar nossa análise.

Passo 2

Primeiro, vamos entender que queremos encontrar um ponto onde f(x) = g(x) . Isso significa que:
ln(x) = 2^x - 3
Para simplificar, vamos rearranjar a equação para:
ln(x) - 2^x + 3 = 0
Vamos chamar essa expressão de h(x) :
h(x) = ln(x) - 2^x + 3
Nosso objetivo agora é mostrar que existe algum x no intervalo [1, e] tal que h(x) = 0 .

Passo 3

Agora, vamos avaliar h(x) nos extremos do intervalo para aplicar o Teorema do Valor Intermediário. Primeiro, quando x = 1 :
h(1) = ln(1) - 2^1 + 3 = 0 - 2 + 3 = 1
Em seguida, quando x = e :
h(e) = ln(e) - 2^e + 3 = 1 - 2^e + 3 = 4 - 2^e
Sabemos que e approx 2,718 , então 2^e approx 15,154 . Portanto:
h(e) approx 4 - 15,154 = -11,154
Isso nos dá:
h(1) = 1 e h(e) approx -11,154

Passo 4

Observamos que h(1) é positivo e h(e) é negativo. Como h(x) é uma função contínua no intervalo [1, e] (pois é a combinação de funções contínuas), o Teorema do Valor Intermediário nos garante que existe pelo menos um ponto c em [1, e] onde h(c) = 0 . Ou seja, há um c em [1, e] tal que:
ln(c) = 2^c - 3
Isso significa que os gráficos de f(x) e g(x) se interceptam nesse ponto.

Resposta

Portanto, os gráficos de f(x) = ln(x) e g(x) = 2^x - 3 se interceptam em pelo menos um ponto cujo valor de x está no intervalo [1, e].

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