Questão 3. (10 pontos) Mostre que os gráficos de
e
se interceptam em algum ponto com abscissa no intervalo
. (Dica: lembre que
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente mostrar que os gráficos das funções
e
se cruzam em algum ponto cujo valor de
está entre 1 e
. Para resolver isso, vamos usar o Teorema do Valor Intermediário, que nos ajuda a garantir que uma função contínua atinge todos os valores entre dois pontos. Vamos precisar lembrar dos valores de
e
para facilitar nossa análise.
Passo 2
Primeiro, vamos entender que queremos encontrar um ponto onde
. Isso significa que:
Para simplificar, vamos rearranjar a equação para:
Vamos chamar essa expressão de
:
Nosso objetivo agora é mostrar que existe algum
no intervalo
tal que
.
Passo 3
Agora, vamos avaliar
nos extremos do intervalo para aplicar o Teorema do Valor Intermediário. Primeiro, quando
:
Em seguida, quando
:
Sabemos que
, então
. Portanto:
Isso nos dá:
Passo 4
Observamos que
é positivo e
é negativo. Como
é uma função contínua no intervalo
(pois é a combinação de funções contínuas), o Teorema do Valor Intermediário nos garante que existe pelo menos um ponto
em
onde
. Ou seja, há um
em
tal que:
Isso significa que os gráficos de
e
se interceptam nesse ponto.
Resposta
Portanto, os gráficos de
e
se interceptam em pelo menos um ponto cujo valor de
está no intervalo
.