Determine uma equação da reta tangente à curva e^cos x+e^sen y=2 no ponto (pi2, 0).

Passo 1

O enunciado dá a curva implícita
e^cos x + e^sen y = 2
e pede a reta tangente no ponto l(tfracpi2,0r).
O conteúdo principal é diferenciação implícita, usando regra da cadeia para exponenciais.

Passo 2

Diferenciando ambos os lados em relação a x, obtemos
ddxl(e^cos xr) + ddxl(e^sen yr) = 0
Pela regra da cadeia:
ddxl(e^cos xr) = e^cos xcdot(-sen x), ddxl(e^sen yr) = e^sen ycdot(cos y),dydx
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-e^cos xsen x + e^sen ycos y,dydx = 0

Passo 3

Isolando dydx, vem
e^sen ycos y,dydx = e^cos xsen x Longrightarrow dydx = e^cos xsen xe^sen ycos y

Passo 4

No ponto l(tfracpi2,0r) temos
e^cos(tfracpi2)sen(tfracpi2) = e^0cdot1 = 1, e^sen(0)cos(0) = e^0cdot1 = 1,
portanto
dydx|l(pi2,0r) = 11 = 1

Passo 5

A reta tangente em l(tfracpi2,0r) na forma ponto-inclinação é
y - 0 = 1l(x - tfracpi2r),
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y = x - tfracpi2

Resposta

y = x - pi2

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