Considere uma função f definida por f(x, y)=y e^x+x e^y, tal que y(t)=sen(t) e x(t)=cos (t). Calcule d fd t e determine esse valor em t=pi4.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma função f(x, y) = y e^x + x e^y onde x e y dependem do tempo t . Especificamente, y(t) = sin(t) e x(t) = cos(t) . Nosso objetivo aqui é calcular a derivada de f em relação a t , ou seja, dfdt , e depois encontrar o valor dessa derivada quando t = pi4 .
Para resolver isso, vamos precisar usar a regra da cadeia da derivada, que nos ajuda a lidar com funções compostas. Além disso, vamos precisar saber como derivar funções exponenciais e trigonométricas básicas.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a função f em termos de t :
f(t) = f(x(t), y(t)) = y(t) e^x(t) + x(t) e^y(t) = sin(t) e^cos(t) + cos(t) e^sin(t)
Agora, queremos encontrar dfdt . Para isso, usamos a regra da cadeia, que nos diz que:
dfdt = partial fpartial x cdot dxdt + partial fpartial y cdot dydt
Vamos calcular cada uma dessas derivadas parciais:
  1. Derivada parcial de f em relação a x :
partial fpartial x = y e^x
  1. Derivada parcial de f em relação a y :
partial fpartial y = e^x + x e^y
Agora, vamos derivar x(t) e y(t) em relação a t :
dxdt = ddt cos(t) = -sin(t)
dydt = ddt sin(t) = cos(t)
Substituindo tudo na fórmula da regra da cadeia:
dfdt = ( sin(t) e^cos(t) ) cdot ( -sin(t) ) + ( e^cos(t) + cos(t) e^sin(t) ) cdot cos(t)
Simplificando:
dfdt = -sin^2(t) e^cos(t) + cos(t) e^cos(t) + cos^2(t) e^sin(t)

Passo 3

Agora, vamos calcular essa derivada no ponto t = pi4 .
Primeiro, vamos encontrar os valores das funções trigonométricas e exponenciais nesse ponto:
sin(pi4) = cos(pi4) = raiz22
Então:
sin^2(pi4) = ( raiz22 )^2 = 12
cos^2(pi4) = ( raiz22 )^2 = 12
e^cos(pi4) = e^raiz22
e^sin(pi4) = e^raiz22
Substituindo esses valores na expressão da derivada:
dfdtg|t=pi4 = -12 e^raiz22 + raiz22 e^raiz22 + 12 e^raiz22
Simplificando os termos:
dfdtg|t=pi4 = ( -12 + raiz22 + 12 ) e^raiz22 = raiz22 e^raiz22

Resposta

dfdtg|t=pi4 = raiz22 , e^,raiz22

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