Considere uma função
definida por
, tal que
. Calcule
e determine esse valor em
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma função
onde
e
dependem do tempo
. Especificamente,
e
. Nosso objetivo aqui é calcular a derivada de
em relação a
, ou seja,
, e depois encontrar o valor dessa derivada quando
.
Para resolver isso, vamos precisar usar a regra da cadeia da derivada, que nos ajuda a lidar com funções compostas. Além disso, vamos precisar saber como derivar funções exponenciais e trigonométricas básicas.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a função
em termos de
:
Agora, queremos encontrar
. Para isso, usamos a regra da cadeia, que nos diz que:
Vamos calcular cada uma dessas derivadas parciais:
- Derivada parcial de
em relação a :
- Derivada parcial de
em relação a :
Agora, vamos derivar
e
em relação a
:
Substituindo tudo na fórmula da regra da cadeia:
Simplificando:
Passo 3
Agora, vamos calcular essa derivada no ponto
.
Primeiro, vamos encontrar os valores das funções trigonométricas e exponenciais nesse ponto:
Então:
Substituindo esses valores na expressão da derivada:
Simplificando os termos: