Considere a função f(x, y)=ll1+y+x, & y <= 0, x <= 0 1+y-x, & y <= 0, x>0 1-y-x, & y>0, x >= 0 1-y+x, & y>0, x<0, definida para todos os pares de números reais (x, y).
Desenhe a curva de nível f(x, y)=-1.

Passo 1

Beleza, vamos resumir o que a questão tá pedindo. Temos uma função de duas variáveis, f(x, y) , que é definida de formas diferentes dependendo dos valores de x e y . A tarefa é desenhar a curva de nível onde f(x, y) = -1 . Isso significa que queremos encontrar todos os pontos (x, y) que fazem a função valer -1. Vamos precisar usar conceitos de funções de duas variáveis e curvas de nível para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar cada caso da função f(x, y) e igualar a -1 para encontrar as equações que descrevem a curva de nível em cada região.

Passo 3

Caso 1: Quando y <= 0 e x <= 0 , temos:
f(x, y) = 1 + y + x
Igualando a -1:
1 + y + x = -1
y + x = -2
Essa é uma reta com inclinação -1 e intercepto -2.

Passo 4

Caso 2: Quando y <= 0 e x > 0 , temos:
f(x, y) = 1 + y - x
Igualando a -1:
1 + y - x = -1
y - x = -2
Essa também é uma reta com inclinação 1 e intercepto -2.

Passo 5

Caso 3: Quando y > 0 e x >= 0 , temos:
f(x, y) = 1 - y - x
Igualando a -1:
1 - y - x = -1
-y - x = -2
y + x = 2
Mais uma reta com inclinação -1 e intercepto 2.

Passo 6

Caso 4: Quando y > 0 e x < 0 , temos:
f(x, y) = 1 - y + x
Igualando a -1:
1 - y + x = -1
-y + x = -2
y = x + 2
Essa é uma reta com inclinação 1 e intercepto 2.

Passo 7

Agora que temos as equações das retas para cada região, podemos desenhar a curva de nível f(x, y) = -1 juntando todas essas retas nos respectivos quadrantes do plano xy :
  • No primeiro quadrante ( x > 0, y > 0 ): y + x = 2
  • No segundo quadrante ( x < 0, y > 0 ): y = x + 2
  • No terceiro quadrante ( x < 0, y <= 0 ): y + x = -2
  • No quarto quadrante ( x > 0, y <= 0 ): y - x = -2

Resposta

A curva de nível f(x, y) = -1 é composta por quatro retas:
  1. y + x = -2 no terceiro quadrante.
  2. y - x = -2 no quarto quadrante.
  3. y + x = 2 no primeiro quadrante.
  4. y = x + 2 no segundo quadrante.
Essas retas formam uma espécie de losango no plano xy , representando todos os pontos onde a função f(x, y) vale -1.

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