(i) Determine uma função f tal que F=nabla f e (ii) use a parte (i) para achar integralC F d r sobre a curva dada.
F(x, y)=y^2 cos z i+2 x y cos z j-x y^2 sen z k, C: r(t)=t^2 i+sen t j+ t k, 0 <= t <= pi.

Passo 1

O enunciado dá o campo vetorial
F(x,y,z)=y^2cos z,i+2xycos z,j-xy^2sin z,k
e pede (i) achar uma função potencial f tal que nabla f=F e (ii) usar isso para calcular
integralCFcdot dr
onde C é dado por r(t)=(t^2,sin t,t), 0<= t<=pi. Vamos usar o fato de que, sendo F conservativo, vale
integralCFcdot dr=fl(r(pi)r)-fl(r(0)r)

Passo 2

Primeiro mostramos rapidamente que F é conservativo verificando que nablatimesF=0. Por exemplo,
partialpartial y(y^2cos z)=2ycos z, partialpartial x(2xycos z)=2ycos z,
e as outras componentes do rotacional conferem de modo semelhante. Logo existe f com nabla f=F.

Passo 3

Para achar f integramos a componente i:
partial fpartial x=y^2cos z Longrightarrow f(x,y,z)=x,y^2cos z+g(y,z)
Agora impomos partial f/partial y=2xycos z. Calculando
partial fpartial y =2xycos z+partial gpartial y
igual a 2xycos z implica partial g/partial y=0, ou seja g=g(z).
Finalmente, de partial f/partial z=-x y^2sin z+g'(z) igual a -xy^2sin z segue g'(z)=0.
Portanto, até constante de integração,
f(x,y,z)=x,y^2cos z

Passo 4

Como C é percorrido de t=0 até t=pi, usamos o Teorema Fundamental para campos conservativos:
integralCFcdot dr =fl(r(pi)r)-fl(r(0)r)
Temos r(pi)=(pi^2,0,pi) e r(0)=(0,0,0).
Logo
fl(pi^2,0,pir) =pi^2cdot0^2cospi=0, f(0,0,0)=0cdot0^2cos0=0
Assim o integral vale
0-0=0

Resposta

0

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