(i) Determine uma função
tal que
e (ii) use a parte (i) para achar
sobre a curva dada.
.
Passo 1
O enunciado dá o campo vetorial
e pede (i) achar uma função potencial
tal que
e (ii) usar isso para calcular
onde
é dado por
,
. Vamos usar o fato de que, sendo
conservativo, vale
Passo 2
Primeiro mostramos rapidamente que
é conservativo verificando que
. Por exemplo,
e as outras componentes do rotacional conferem de modo semelhante. Logo existe
com
.
Passo 3
Para achar
integramos a componente
:
Agora impomos
. Calculando
igual a
implica
, ou seja
.
Finalmente, de igual a
segue
.
Portanto, até constante de integração,
Finalmente, de
Portanto, até constante de integração,
Passo 4
Como
é percorrido de
até
, usamos o Teorema Fundamental para campos conservativos:
Temos
e
.
Logo
Logo
Assim o integral vale