Prove um dê um contra-exemplo:
Se a derivada gamma^prime(t) de uma curva gamma:[a, b] R^3 é um vetor constante, então gamma está contida numa reta.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos pede para provar ou dar um contra-exemplo para a seguinte afirmação:
Se a derivada gamma^prime(t) de uma curva gamma:[a, b] R^3 é um vetor constante, então gamma está contida numa reta.
Vamos resolver isso usando Cálculo Diferencial e um pouco de Geometria Analítica. Precisamos entender o que significa ter uma derivada constante e como isso afeta a forma da curva.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a derivada de uma curva. A derivada gamma^prime(t) representa a velocidade da curva no ponto t. Se essa derivada é constante, significa que a velocidade não muda ao longo da curva.
Matematicamente, se gamma^prime(t) = v, onde v é um vetor constante, então:
gamma^prime(t) = v

Passo 3

Agora, para encontrar a expressão da curva gamma(t), precisamos integrar a derivada. A integração da derivada nos dá a função original, mais uma constante de integração (que, nesse caso, será um vetor fixo c).
Integrando ambos os lados:
gamma(t) = gamma(a) + v(t - a)
Aqui, gamma(a) é o ponto inicial da curva no parâmetro t = a.

Passo 4

Vamos analisar a expressão que obtivemos:
gamma(t) = gamma(a) + v(t - a)
Essa é a equação paramétrica de uma linha reta no espaço R^3. Ela descreve uma reta que passa pelo ponto gamma(a) e tem direção dada pelo vetor v.

Resposta

Então, provamos que se a derivada gamma^prime(t) de uma curva é um vetor constante, a curva gamma(t) está de fato contida numa reta. Assim, a afirmação é verdadeira.

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