Prove um dê um contra-exemplo:
Se a derivada
de uma curva
é um vetor constante, então
está contida numa reta.
Se a derivada
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos pede para provar ou dar um contra-exemplo para a seguinte afirmação:
Se a derivada
de uma curva
é um vetor constante, então
está contida numa reta.
Vamos resolver isso usando Cálculo Diferencial e um pouco de Geometria Analítica. Precisamos entender o que significa ter uma derivada constante e como isso afeta a forma da curva.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é a derivada de uma curva. A derivada
representa a velocidade da curva no ponto
. Se essa derivada é constante, significa que a velocidade não muda ao longo da curva.
Matematicamente, se
, onde
é um vetor constante, então:
Passo 3
Agora, para encontrar a expressão da curva
, precisamos integrar a derivada. A integração da derivada nos dá a função original, mais uma constante de integração (que, nesse caso, será um vetor fixo
).
Integrando ambos os lados:
Aqui,
é o ponto inicial da curva no parâmetro
.
Passo 4
Vamos analisar a expressão que obtivemos:
Essa é a equação paramétrica de uma linha reta no espaço
. Ela descreve uma reta que passa pelo ponto
e tem direção dada pelo vetor
.
Resposta
Então, provamos que se a derivada
de uma curva é um vetor constante, a curva
está de fato contida numa reta. Assim, a afirmação é verdadeira.