Considere a função f(x, y)=ll1+y+x, & y <= 0, x <= 0 1+y-x, & y <= 0, x>0 1-y-x, & y>0, x >= 0 1-y+x, & y>0, x<0, definida para todos os pares de números reais (x, y).
Determine o conjunto de todos os valores de k tais que a curva de nível f(x, y)=k não é um conjunto vazio.

Passo 1

Então, vamos lá! O exercício que temos envolve uma função de duas variáveis, f(x, y), que está dividida em quatro partes dependendo dos valores de x e y. O nosso objetivo é descobrir todos os valores de k para os quais a curva de nível f(x, y) = k existe, ou seja, não é um conjunto vazio. Para resolver isso, vamos analisar cada caso da função separadamente e ver quais valores de k podemos obter em cada região.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma curva de nível. Uma curva de nível de uma função de duas variáveis é o conjunto de pontos (x, y) onde a função assume um valor constante k. Então, queremos encontrar todos os k para os quais existe pelo menos um ponto (x, y) que satisfaça f(x, y) = k.

Passo 3

Vamos analisar cada parte da função f(x, y):
  1. Caso 1: y <= 0 e x <= 0
    Aqui, f(x, y) = 1 + y + x. Essa é uma função linear em x e y. Como x e y podem variar livremente dentro dessa região, f(x, y) pode assumir qualquer valor real. Portanto, para qualquer k, existe pelo menos um ponto nessa região que satisfaz f(x, y) = k.
  2. Caso 2: y <= 0 e x > 0
    Nesse caso, f(x, y) = 1 + y - x. Novamente, é uma função linear. Como x pode ser qualquer número positivo e y <= 0, ajustando x e y podemos obter qualquer valor real para k. Assim, para qualquer k, existe pelo menos um ponto nessa região que satisfaz f(x, y) = k.
  3. Caso 3: y > 0 e x >= 0
    Aqui, f(x, y) = 1 - y - x. Mais uma vez, é uma função linear. Com x >= 0 e y > 0, podemos ajustar x e y para obter qualquer valor real para k. Portanto, para qualquer k, existe pelo menos um ponto nessa região que satisfaz f(x, y) = k.
  4. Caso 4: y > 0 e x < 0
    Neste último caso, f(x, y) = 1 - y + x. Novamente, função linear. Com x < 0 e y > 0, podemos ajustar x e y para que f(x, y) assuma qualquer valor real k. Assim, para qualquer k, existe pelo menos um ponto nessa região que satisfaz f(x, y) = k.

Passo 4

Como em todos os quatro casos conseguimos que f(x, y) assuma qualquer valor real k, isso significa que para qualquer número real k, existe pelo menos um par (x, y) que atende a condição f(x, y) = k. Portanto, a curva de nível f(x, y) = k não é vazia para nenhum valor de k.

Resposta

O conjunto de todos os valores de k é R, ou seja, todos os números reais.

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