Determine todos os possíveis valores de a e b para que a função f(x, y, z)=x^2+a y^2b x^2+y^2 tenha um limite quando (x, y) (0,0).

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem a função f(x, y) = x^2 + a y^2b x^2 + y^2 e queremos descobrir para quais valores de a e b essa função tem um limite quando (x, y) se aproxima de (0,0) . Isso envolve conceitos de limites de funções de duas variáveis e como elas se comportam quando nos aproximamos do ponto de interesse por diferentes caminhos.

Passo 2

Primeiro, para que o limite exista, ele precisa ser o mesmo independente do caminho que a gente escolha para se aproximar de (0,0) . Então, vamos testar a função ao nos aproximarmos por diferentes caminhos. Um caminho comum é escolher uma relação entre y e x , tipo y = kx , onde k é uma constante.

Passo 3

Substituindo y = kx na função, a gente tem:
f(x, kx) = x^2 + a (k x)^2b x^2 + (k x)^2 = x^2 + a k^2 x^2b x^2 + k^2 x^2 = 1 + a k^2b + k^2
Note que x^2 cancela em cima e embaixo.

Passo 4

Agora, o limite dessa expressão quando x se aproxima de 0 é simplesmente 1 + a k^2b + k^2 . Para que o limite exista de verdade, esse valor precisa ser o mesmo para qualquer valor de k .

Passo 5

Então, queremos que 1 + a k^2b + k^2 seja constante, ou seja, não dependa de k . Vamos igualar isso a uma constante C :
1 + a k^2 = C (b + k^2)

Passo 6

Agora, vamos expandir e igualar os coeficientes dos termos que envolvem k^2 e os termos constantes:
1 + a k^2 = C b + C k^2
Isso nos dá duas equações:
  1. Coeficiente de k^2 : a = C
  2. Termo constante: 1 = C b

Passo 7

Da segunda equação, podemos resolver para C :
C = 1b
E usando a primeira equação a = C , substituímos C :
a = 1b implies a b = 1

Resposta

Todos os valores de a e b tais que a times b = 1 . Ou seja, a b = 1 .

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