Determine todos os possíveis valores de
e
para que a função
tenha um limite quando
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem a função
e queremos descobrir para quais valores de
e
essa função tem um limite quando
se aproxima de
. Isso envolve conceitos de limites de funções de duas variáveis e como elas se comportam quando nos aproximamos do ponto de interesse por diferentes caminhos.
Passo 2
Primeiro, para que o limite exista, ele precisa ser o mesmo independente do caminho que a gente escolha para se aproximar de
. Então, vamos testar a função ao nos aproximarmos por diferentes caminhos. Um caminho comum é escolher uma relação entre
e
, tipo
, onde
é uma constante.
Passo 3
Substituindo
na função, a gente tem:
Note que
cancela em cima e embaixo.
Passo 4
Agora, o limite dessa expressão quando
se aproxima de 0 é simplesmente
. Para que o limite exista de verdade, esse valor precisa ser o mesmo para qualquer valor de
.
Passo 5
Então, queremos que
seja constante, ou seja, não dependa de
. Vamos igualar isso a uma constante
:
Passo 6
Agora, vamos expandir e igualar os coeficientes dos termos que envolvem
e os termos constantes:
Isso nos dá duas equações:
- Coeficiente de
: - Termo constante:
Passo 7
Da segunda equação, podemos resolver para
:
E usando a primeira equação
, substituímos
:
Resposta
Todos os valores de
e
tais que
. Ou seja,
.