Nos problemas abaixo, determine se a equação é exata. Se for, então solucione-a.
(2 x+y) d x+(x-2 y) d y=0

Passo 1

Resumindo o enunciado: temos a equação diferencial
(2x + y),dx + (x - 2y),dy = 0
e queremos verificar se ela é exata. Se for, vamos encontrar sua solução geral. O conteúdo usado aqui é o de equações diferenciais exatas, que se baseia no critério
partial Mpartial y = partial Npartial x
e na construção de uma função potencial psi(x,y).

Passo 2

Identificamos as funções
M(x,y) = 2x + y, N(x,y) = x - 2y
Calculamos as derivadas parciais:
partial Mpartial y = 1, partial Npartial x = 1
Como partial M/partial y = partial N/partial x, a equação é exata em R^2.

Passo 3

Procuramos uma função potencial psi(x,y) satisfazendo
partial psipartial x = M(x,y) = 2x + y
Integrando em relação a x, obtemos
psi(x,y) = integral (2x + y),dx = x^2 + x,y + C(y),
onde C(y) é uma “constante” de integração, que pode depender de y.

Passo 4

Para descobrir C(y), usamos
partial psipartial y = x + C'(y)
e igualamos a N(x,y) = x - 2y. Assim,
x + C'(y) = x - 2y Longrightarrow C'(y) = -2y
Integrando em y,
C(y) = -y^2 + constante
Podemos absorver essa constante final na constante geral da solução.

Passo 5

Substituindo C(y) em psi, fica
psi(x,y) = x^2 + x,y - y^2
A solução implícita da equação diferencial é
psi(x,y) = x^2 + x,y - y^2 = C,
onde C é uma constante arbitrária.

Resposta

A equação é exata e sua solução geral é
x^2 + x,y - y^2 = C

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