Nos problemas abaixo, determine se a equação é exata. Se for, então solucione-a.
(2 x+y) d x+(x-2 y) d y=0
(2 x+y) d x+(x-2 y) d y=0
Passo 1
Resumindo o enunciado: temos a equação diferencial
e queremos verificar se ela é exata. Se for, vamos encontrar sua solução geral. O conteúdo usado aqui é o de equações diferenciais exatas, que se baseia no critério
e na construção de uma função potencial
.
Passo 2
Identificamos as funções
Calculamos as derivadas parciais:
Como
, a equação é exata em
.
Passo 3
Procuramos uma função potencial
satisfazendo
Integrando em relação a
, obtemos
onde
é uma “constante” de integração, que pode depender de
.
Passo 4
Para descobrir
, usamos
e igualamos a
. Assim,
Integrando em
,
Podemos absorver essa constante final na constante geral da solução.
Passo 5
Substituindo
em
, fica
A solução implícita da equação diferencial é
onde
é uma constante arbitrária.
Resposta
A equação é exata e sua solução geral é