Considere a função f(x, y)=x^2+pi x y+y^2 definida para todos os pares de números reais (x, y). Determine (x0, y0) tal que o plano tangente ao gráfico de f no ponto (x0, y0, f(x0, y0)) é paralelo ao plano z=-3 x+5 y+7.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente encontrar um ponto (x0, y0) onde o plano tangente à função f(x, y) = x^2 + pi x y + y^2 é paralelo ao plano z = -3x + 5y + 7. Basicamente, vamos usar conceitos de cálculo, como derivadas parciais e planos tangentes, pra resolver isso.

Passo 2

Primeiro, precisamos achar as derivadas parciais da função f(x, y) em relação a x e y. As derivadas parciais nos dão as inclinações nas direções desses eixos, que são essenciais para determinar o plano tangente.
fx = partial fpartial x = 2x + pi y
fy = partial fpartial y = pi x + 2y

Passo 3

Agora, o plano tangente à função no ponto (x0, y0, f(x0, y0)) tem a equação:
z = fx(x0, y0)(x - x0) + fy(x0, y0)(y - y0) + f(x0, y0)
O vetor normal a esse plano é dado por (fx, fy, -1). Queremos que esse vetor normal seja paralelo ao vetor normal do plano dado z = -3x + 5y + 7, que é (-3, 5, 1).

Passo 4

Para que os vetores normais sejam paralelos, eles devem ser múltiplos um do outro. Ou seja:
(fx, fy, -1) = k(-3, 5, 1)
Isso nos dá o sistema de equações:
2x0 + pi y0 = -3k
pi x0 + 2y0 = 5k
-1 = k

Passo 5

Primeiro, resolvemos a última equação para encontrar k:
k = -1
Agora, substituímos k = -1 nas duas primeiras equações:
2x0 + pi y0 = 3
pi x0 + 2y0 = -5
Vamos resolver esse sistema de equações. Podemos multiplicar a primeira equação por pi e a segunda por 2 para eliminar x0:
2pi x0 + pi^2 y0 = 3pi
2pi x0 + 4y0 = -10
Subtraindo a segunda equação da primeira:
(pi^2 y0 - 4y0) = 3pi + 10
y0 (pi^2 - 4) = 3pi + 10
y0 = 3pi + 10pi^2 - 4
Agora, substituímos y0 na primeira equação para encontrar x0:
2x0 + pi ( 3pi + 10pi^2 - 4 ) = 3
2x0 = 3 - pi (3pi + 10)pi^2 - 4
x0 = 3(pi^2 - 4) - pi (3pi + 10)2(pi^2 - 4)
x0 = 3pi^2 - 12 - 3pi^2 - 10pi2(pi^2 - 4)
x0 = -10pi - 122(pi^2 - 4) = -5pi - 6pi^2 - 4

Resposta

O par (x0, y0) que satisfaz as condições é:
( -5pi - 6pi^2 - 4, 3pi + 10pi^2 - 4 )

Exercícios relacionados