Considere a função
definida para todos os pares de números reais
. Determine
tal que o plano tangente ao gráfico de
no ponto
é paralelo ao plano
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente encontrar um ponto
onde o plano tangente à função
é paralelo ao plano
. Basicamente, vamos usar conceitos de cálculo, como derivadas parciais e planos tangentes, pra resolver isso.
Passo 2
Primeiro, precisamos achar as derivadas parciais da função
em relação a
e
. As derivadas parciais nos dão as inclinações nas direções desses eixos, que são essenciais para determinar o plano tangente.
Passo 3
Agora, o plano tangente à função no ponto
tem a equação:
O vetor normal a esse plano é dado por
. Queremos que esse vetor normal seja paralelo ao vetor normal do plano dado
, que é
.
Passo 4
Para que os vetores normais sejam paralelos, eles devem ser múltiplos um do outro. Ou seja:
Isso nos dá o sistema de equações:
Passo 5
Primeiro, resolvemos a última equação para encontrar
:
Agora, substituímos
nas duas primeiras equações:
Vamos resolver esse sistema de equações. Podemos multiplicar a primeira equação por
e a segunda por 2 para eliminar
:
Subtraindo a segunda equação da primeira:
Agora, substituímos
na primeira equação para encontrar
:
Resposta
O par
que satisfaz as condições é: