Seja f: Omega R uma função diferenciável definida em alguma subconjunto Omega de R^2. Seja (x0, y0) in Omega. O conjunto das direções de descida de f é o conjunto D(f, x0, y0) formado por todas as direções v= (v1, v2) que formam um ângulo maior do que pi / 2 com o vetor gradiente nabla f(x0, y0), ou seja D(f, x0, y0)=(v1, v2): v1 partial fpartial x(x0, y0)+v2 partial fpartial y(x0, y0)<0.
É possível mostrar que, se v é uma direção de descida de f, então, para t>0 suficientemente pequeno, vale f((x0, y0)+t v )<f((x0, y0)), ou seja, é possível diminuir o valor de f((x0, y0)) andando um pouquinho na direção de v.
Com base nesse fato, encontre o ponto (x^*, y^*) que minimiza a função f(x, y)=x^2+y^2 definida no conjunto Omega=(x, y) in R^2 : x^2+y^2 <= 16 e x+y >= 1.

Passo 1

Vamos resolver um exercício de otimização onde queremos encontrar o ponto (x^*, y^*) que minimiza a função f(x, y) = x^2 + y^2 no conjunto Omega = (x, y) in R^2 : x^2 + y^2 <= 16 e x + y >= 1. Para isso, vamos utilizar conceitos de direção de descida e minimizar a função dentro das restrições dadas.

Passo 2

Primeiro, observamos que a função f(x, y) = x^2 + y^2 representa a distância ao quadrado do ponto (x, y) até a origem. Nosso objetivo é encontrar o ponto dentro do conjunto Omega que está mais próximo da origem.

Passo 3

Verificamos se o ponto que minimiza f(x, y) sem restrições está dentro de Omega. A função f(x, y) atinge seu mínimo na origem (0, 0), mas precisamos verificar se (0, 0) está em Omega.
Calculando:
0^2 + 0^2 = 0 <= 16 (satisfaz a primeira restrição) çã
0 + 0 = 0 >= 1 (não satisfaz a segunda restrição) ãçã
Portanto, (0, 0) não está em Omega.

Passo 4

Como o ponto mínimo sem restrições não está em Omega, precisamos encontrar o ponto na fronteira de Omega que minimiza f(x, y). A fronteira de Omega é definida por x + y = 1 (pois x + y >= 1 é uma desigualdade).
Queremos minimizar f(x, y) = x^2 + y^2 sujeito à restrição x + y = 1. Podemos usar o método dos multiplicadores de Lagrange ou encontrar o ponto na reta x + y = 1 mais próximo da origem.
Para simplificar, encontramos o ponto na reta x + y = 1 mais próximo da origem usando a fórmula da distância:
A distância mínima d da origem à reta ax + by + c = 0 é dada por:
d = |c|raiza^2 + b^2
Para a reta x + y - 1 = 0, temos a = 1, b = 1, e c = -1. Então:
d = 1raiz1 + 1 = 1raiz2
O ponto que atinge essa distância mínima é (12, 12).

Resposta

O ponto que minimiza a função f(x, y) = x^2 + y^2 no conjunto Omega é (12, 12).

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