Seja
uma função diferenciável definida em alguma subconjunto
de
. Seja
. O conjunto das direções de descida de
é o conjunto
formado por todas as direções
que formam um ângulo maior do que
com o vetor gradiente
, ou seja
.
É possível mostrar que, se
é uma direção de descida de
, então, para
suficientemente pequeno, vale
, ou seja, é possível diminuir o valor de
andando um pouquinho na direção de
.
Com base nesse fato, encontre o ponto
que minimiza a função
definida no conjunto
:
e
.
É possível mostrar que, se
Com base nesse fato, encontre o ponto
Passo 1
Vamos resolver um exercício de otimização onde queremos encontrar o ponto
que minimiza a função
no conjunto
. Para isso, vamos utilizar conceitos de direção de descida e minimizar a função dentro das restrições dadas.
Passo 2
Primeiro, observamos que a função
representa a distância ao quadrado do ponto
até a origem. Nosso objetivo é encontrar o ponto dentro do conjunto
que está mais próximo da origem.
Passo 3
Verificamos se o ponto que minimiza
sem restrições está dentro de
. A função
atinge seu mínimo na origem
, mas precisamos verificar se
está em
.
Calculando:
Portanto,
não está em
.
Passo 4
Como o ponto mínimo sem restrições não está em
, precisamos encontrar o ponto na fronteira de
que minimiza
. A fronteira de
é definida por
(pois
é uma desigualdade).
Queremos minimizar
sujeito à restrição
. Podemos usar o método dos multiplicadores de Lagrange ou encontrar o ponto na reta
mais próximo da origem.
Para simplificar, encontramos o ponto na reta
mais próximo da origem usando a fórmula da distância:
A distância mínima
da origem à reta
é dada por:
Para a reta
, temos
,
, e
. Então:
O ponto que atinge essa distância mínima é
.
Resposta
O ponto que minimiza a função
no conjunto
é
.