Seja f: Omega R uma função diferenciável definida em alguma subconjunto Omega de R^2. Seja (x0, y0) in Omega. O conjunto das direções de descida de f é o conjunto D(f, x0, y0) formado por todas as direções v= (v1, v2) que formam um ângulo maior do que pi / 2 com o vetor gradiente nabla f(x0, y0), ou seja D(f, x0, y0)=(v1, v2): v1 partial fpartial x(x0, y0)+v2 partial fpartial y(x0, y0)<0.
Mostre que, se nabla f(x0, y0) neq 0, então o conjunto D(f, x0, y0) não é vazio.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma função diferenciável f: Omega R definida em um subconjunto de R^2 . No ponto (x0, y0) , queremos identificar todas as direções em que a função está “descendo”, ou seja, onde nos movemos, a função diminui. Esse conjunto de direções é chamado de D(f, x0, y0) . Para resolver isso, vamos precisar entender o conceito de gradiente e como ele se relaciona com as direções de descida.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o gradiente de uma função. O gradiente de f no ponto (x0, y0) é o vetor nabla f(x0, y0) = ( partial fpartial x(x0, y0), partial fpartial y(x0, y0) ) . Esse vetor aponta na direção de maior aumento da função.

Passo 3

Agora, a ideia é achar todas as direções v = (v1, v2) que formam um ângulo maior que pi/2 com o gradiente nabla f(x0, y0) . Geometricamente, isso significa que essas direções estão “opostas” ao gradiente, indicando onde a função está diminuindo.

Passo 4

Matematicamente, duas direções formam um ângulo maior que pi/2 se o produto escalar entre elas for negativo. Assim, queremos que:
v cdot nabla f(x0, y0) = v1 partial fpartial x(x0, y0) + v2 partial fpartial y(x0, y0) < 0
Isso define precisamente o conjunto D(f, x0, y0) .

Passo 5

Agora, precisamos mostrar que esse conjunto D(f, x0, y0) não está vazio, ou seja, que existem pelo menos algumas direções que satisfazem essa condição. Para isso, vamos usar o fato de que o gradiente nabla f(x0, y0) não é o vetor zero.

Passo 6

Como nabla f(x0, y0) neq 0 , sabemos que existe pelo menos uma direção em que a função está aumentando. Mas queremos a direção oposta. Podemos considerar a direção do vetor negativo do gradiente, -nabla f(x0, y0) .

Passo 7

Vamos escolher v = -nabla f(x0, y0) . Calculando o produto escalar:
v cdot nabla f(x0, y0) = (-nabla f(x0, y0)) cdot nabla f(x0, y0) = -|nabla f(x0, y0)|^2 < 0
Como |nabla f(x0, y0)|^2 > 0 , o produto escalar é negativo, satisfazendo a condição para estar em D(f, x0, y0) .

Resposta

Portanto, mostramos que se nabla f(x0, y0) neq 0 , então o conjunto D(f, x0, y0) não está vazio, já que pelo menos a direção -nabla f(x0, y0) pertence a ele.

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