Seja
uma função diferenciável definida em alguma subconjunto
de
. Seja
. O conjunto das direções de descida de
é o conjunto
formado por todas as direções
que formam um ângulo maior do que
com o vetor gradiente
, ou seja
.
Mostre que, se
, então o conjunto
não é vazio.
Mostre que, se
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma função diferenciável
definida em um subconjunto de
. No ponto
, queremos identificar todas as direções em que a função está “descendo”, ou seja, onde nos movemos, a função diminui. Esse conjunto de direções é chamado de
. Para resolver isso, vamos precisar entender o conceito de gradiente e como ele se relaciona com as direções de descida.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o gradiente de uma função. O gradiente de
no ponto
é o vetor
. Esse vetor aponta na direção de maior aumento da função.
Passo 3
Agora, a ideia é achar todas as direções
que formam um ângulo maior que
com o gradiente
. Geometricamente, isso significa que essas direções estão “opostas” ao gradiente, indicando onde a função está diminuindo.
Passo 4
Matematicamente, duas direções formam um ângulo maior que
se o produto escalar entre elas for negativo. Assim, queremos que:
Isso define precisamente o conjunto
.
Passo 5
Agora, precisamos mostrar que esse conjunto
não está vazio, ou seja, que existem pelo menos algumas direções que satisfazem essa condição. Para isso, vamos usar o fato de que o gradiente
não é o vetor zero.
Passo 6
Como
, sabemos que existe pelo menos uma direção em que a função está aumentando. Mas queremos a direção oposta. Podemos considerar a direção do vetor negativo do gradiente,
.
Passo 7
Vamos escolher
. Calculando o produto escalar:
Como
, o produto escalar é negativo, satisfazendo a condição para estar em
.
Resposta
Portanto, mostramos que se
, então o conjunto
não está vazio, já que pelo menos a direção
pertence a ele.