Considere a função f(x, y)=ll1-y, & y <=-x 1+x, & y>-x, definida para todos os pares de números reais (x, y).
Verifique se existe o limite lim t 0 f(1+t,-1)-f(1,-1)t.

Passo 1

O enunciado define a função
f(x,y)= 1 - y, & y <= -x, 1 + x, & y > -x,
e pede o limite
limtto0f(1+t,-1)-f(1,-1)t
Esse é o quociente incremental em x com y=-1.

Passo 2

Calculamos f(1,-1). Aqui y=-1 e -x=-1, então y<= -x e usamos a primeira rama:
f(1,-1)=1-(-1)=2

Passo 3

Para t<0, verificamos
-1 <= -(1+t)iff -1 <= -1 -tiff 0<= -tiff t<= 0,
logo ainda estamos em y<= -x e
f(1+t,-1)=1-(-1)=2
O quociente é
2-2t=0

Passo 4

Para t>0, temos
-1 > -(1+t),
então usamos a segunda rama:
f(1+t,-1)=1+(1+t)=2+t,
e o quociente fica
2+t - 2t=1

Passo 5

O limite pela esquerda vale 0 e pela direita vale 1, como são diferentes não existe o limite procurado.

Resposta

O limite limtto0f(1+t,-1)-f(1,-1)t não existe.

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