Encontre os pontos da curva dada por
x=2 cos theta, y=sen 2 theta
em que a tangente é horizontal. Em que pontos a tangente é vertical? Calcule a equação da reta tangente a curva dada no ponto em que theta=pi2.

Passo 1

O enunciado dá uma curva paramétrica
x = 2costheta, y = sin 2theta
e pede (a) os pontos onde a tangente é horizontal, (b) os pontos onde a tangente é vertical e (c) a reta tangente no ponto theta=pi2. Vamos usar derivadas paramétricas, em que
dydx = tfracdydthetatfracdxdtheta

Passo 2

Calculemos as derivadas em relação a theta:
dxdtheta = -2sintheta, dydtheta = ddtheta(sin2theta) = 2cos2theta

Passo 3

Tangente horizontal ocorre quando tfracdydtheta=0 e tfracdxdthetaneq0.
2cos2theta = 0 ;Longrightarrow; cos2theta=0 ;Longrightarrow; 2theta = pi2 + kpi ;Longrightarrow; theta = pi4 + kpi2,;kin Z
Verificando sinthetaneq0 nessas soluções, todas são válidas.
Para k=0,1,2,3 em [0,2pi) obtemos:
theta=pi4,,;3pi4,,;5pi4,,;7pi4
e os pontos correspondentes (x,y) são
l(raiz2,1r),; l(-raiz2,-1r),; l(-raiz2,1r),; l(raiz2,-1r)

Passo 4

Tangente vertical ocorre quando tfracdxdtheta=0 e tfracdydthetaneq0.
-2sintheta = 0 ;Longrightarrow; sintheta=0 ;Longrightarrow; theta = kpi,;kin Z
Nessas theta, cos2theta=cos2kpi=1neq0, então são válidas.
Para k=0,1 em [0,2pi) temos theta=0,pi e os pontos
(2,0)e(-2,0)

Passo 5

No ponto theta=pi2:
xl(tfracpi2r)=2cospi2=0, yl(tfracpi2r)=sinpi=0,
logo o ponto é (0,0). A inclinação é
dydx|theta=pi2 = 2cos(2cdotpi2)-2sin(pi2) = 2cospi-2cdot1 = 2cdot(-1)-2 =1
A reta tangente de coeficiente angular m=1 passando por (0,0) é
y = x

Resposta

Pontos com tangente horizontal:
(raiz2,1),,(-raiz2,-1),,(-raiz2,1),,(raiz2,-1).
Pontos com tangente vertical:
(2,0) e (-2,0).
Reta tangente em theta=tfracpi2:
y = x

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