Utilize a Regra de LHôpital para calcular os seguintes limites:
lim x 0 2^x-3^xx

Passo 1

O enunciado pede calcular
limx 0 2^x-3^xx
Essa expressão tem forma indeterminada tfrac00, então vamos usar a Regra de L’Hôpital. Ela diz que, se
limxto af(x)=0, limxto ag(x)=0
e as derivadas existem num entorno de a, então
limxto af(x)g(x) = limxto af'(x)g'(x)

Passo 2

Verificamos o numerador e o denominador em x=0:
2^0-3^0=1-1=0
e
0=0,
logo a forma é tfrac00 e podemos aplicar a Regra de L’Hôpital.

Passo 3

Calculamos as derivadas: a derivada de 2^x é 2^xln(2), a derivada de 3^x é 3^xln(3) e a derivada de x é 1. Portanto, aplicando L’Hôpital, fica
limxto 0 2^x-3^xx = limxto 0 2^xln(2);-;3^xln(3)1

Passo 4

Agora basta substituir x=0 na expressão acima:
2^0ln(2) - 3^0ln(3) = ln(2) - ln(3) = -l(ln(3)-ln(2)r) = -ln!l(tfrac32r)

Resposta

-ln!l(tfrac32r)

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