Seja dada por . Prove que é um isomorfismo e apresente sua inversa. Para isso siga o seguinte roteiro:
f) Defina Isomorfismo e conclua que é um isomorfismo.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos pede para provar que a transformação linear definida por é um isomorfismo e apresentar sua inversa. Para isso, primeiro precisamos entender o que é um isomorfismo em álgebra linear e verificar se cumpre os requisitos.
Passo 2
Primeiro, vamos definir o que é um isomorfismo. Em álgebra linear, um isomorfismo é uma transformação linear que é bijetora, ou seja, é tanto injetora quanto sobrejetora. Isso significa que cada elemento do espaço de chegada tem exatamente um correspondente no espaço de partida, e vice-versa. Se for um isomorfismo, então existe uma transformação inversa tal que para todo vetor em .
Passo 3
Para provar que é um isomorfismo, vamos verificar se ela é injetora e sobrejetora. Uma transformação linear é injetora se o único vetor que é mapeado para o vetor zero é o vetor zero. Além disso, ela é sobrejetora se todo vetor no espaço de chegada é atingido por algum vetor no espaço de partida.
Passo 4
Vamos encontrar a matriz associada à transformação . Para , a matriz é:
Passo 5
Agora, vamos calcular o determinante de A para verificar se a matriz é invertível. Se o determinante for diferente de zero, A é invertível, o que implica que T é um isomorfismo.