Seja T: R^3 R^3 dada por T(x, y, z)=(x-y, x+y, 2z). Prove que T é um isomorfismo e apresente sua inversa. Para isso siga o seguinte roteiro:
f) Defina Isomorfismo e conclua que T é um isomorfismo.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos pede para provar que a transformação linear T: R^3 R^3 definida por T(x, y, z) = (x - y, x + y, 2z) é um isomorfismo e apresentar sua inversa. Para isso, primeiro precisamos entender o que é um isomorfismo em álgebra linear e verificar se T cumpre os requisitos.

Passo 2

Primeiro, vamos definir o que é um isomorfismo. Em álgebra linear, um isomorfismo é uma transformação linear que é bijetora, ou seja, é tanto injetora quanto sobrejetora. Isso significa que cada elemento do espaço de chegada tem exatamente um correspondente no espaço de partida, e vice-versa. Se T for um isomorfismo, então existe uma transformação inversa T^-1 tal que T^-1(T(v)) = v para todo vetor v em R^3 .

Passo 3

Para provar que T é um isomorfismo, vamos verificar se ela é injetora e sobrejetora. Uma transformação linear é injetora se o único vetor que é mapeado para o vetor zero é o vetor zero. Além disso, ela é sobrejetora se todo vetor no espaço de chegada é atingido por algum vetor no espaço de partida.

Passo 4

Vamos encontrar a matriz associada à transformação T . Para T(x, y, z) = (x - y, x + y, 2z) , a matriz é:
A = 1 & -1 & 0 1 & 1 & 0 0 & 0 & 2

Passo 5

Agora, vamos calcular o determinante de A para verificar se a matriz é invertível. Se o determinante for diferente de zero, A é invertível, o que implica que T é um isomorfismo.
det(A) = 1 cdot (1 cdot 2 - 0 cdot 0) - (-1) cdot (1 cdot 2 - 0 cdot 0) + 0 cdot (1 cdot 0 - 1 cdot 0) = 2 + 2 + 0 = 4
Como o determinante de A é 4, que é diferente de zero, A é invertível.

Passo 6

Como a matriz A associada à transformação T é invertível, concluímos que T é uma transformação linear bijetora, ou seja, um isomorfismo.

Resposta

Portanto, T é um isomorfismo.

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