Seja a ED dada por: x^2 y^prime prime+2 x y^prime+(x^2-2) y=0. Usando o método de Frobenius, use a solução tentativa do tipo: y(x)=sumn=0^infty Cn x^n+s; mostre que para s1 e s2, C1=0;

Passo 1

Temos a equação diferencial
x^2y''+2x,y'+(x^2-2),y=0
que possui x=0 como ponto singular regular. Vamos aplicar o método de Frobenius, isto é, buscar solução da forma
y(x)=sumn=0^inftyCn,x^n+s, C0neq0

Passo 2

Calculamos as derivadas:
y'=sumn=0^infty(n+s),Cn,x^n+s-1, y''=sumn=0^infty(n+s)(n+s-1),Cn,x^n+s-2
Multiplicando e somando conforme a EDO, obtemos
x^2y''=sumn=0^infty(n+s)(n+s-1),Cn,x^n+s,
2x,y'=sumn=0^infty2(n+s),Cn,x^n+s,
(x^2-2)y=sumn=0^inftyCn,x^n+s+2-2sumn=0^inftyCn,x^n+s

Passo 3

Juntando os três somatórios e reindexando o termo com x^n+s+2 (ponto de partida n=0mapsto n=2), obtemos
sumn=0^inftyl[(n+s)(n+s-1)+2(n+s)-2r]Cn,x^n+s ;+; sumn=2^inftyCn-2,x^n+s ;=;0
Agrupando em potências de x^n+s:
sumn=0^inftyll[(n+s)(n+s-1)+2(n+s)-2r]Cn+Cn-2rx^n+s=0,
onde entendemos C-1=C-2=0.

Passo 4

Para n=0 vem a equação indicial:
[s(s-1)+2s-2],C0=0 ;Longrightarrow; (s^2+s-2),C0=0 ;Longrightarrow; s^2+s-2=0
As raízes são
s1=1, s2=-2

Passo 5

Para n=1 a condição de anulação do coeficiente de x^1+s é
l[(1+s)(1+s-1)+2(1+s)-2r],C1 ;+; C-1 ;=;0 ;Longrightarrow; l[(1+s)^2+(1+s)-2r]C1=0
Simplificando o colchete:
(1+s)^2+(1+s)-2=s^2+3s,
logo a equação fica
s(s+3),C1=0
Mas para s=s1=1 e para s=s2=-2 o produto s(s+3) é não nulo ( 1cdot4neq0 e (-2)cdot1neq0), de onde necessariamente
C1=0

Resposta

Para ambas as raízes da equação indicial, s1=1 e s2=-2, vale
C1=0

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