Considere a função f(x, y)=12 y+2 x^2-6 x^2 y+2 ln (x y) e P(1,1).
A derivada direcional de f(x, y), em P(1,1), na direção do vetor v=(-12,9), é square

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular a derivada direcional da função f(x, y) = 12y + 2x^2 - 6x^2y + 2ln(xy) no ponto P(1,1) na direção do vetor v = (-12, 9) . Para isso, vamos precisar usar o conceito de derivada direcional, que envolve o cálculo do gradiente da função e a normalização do vetor direção.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o gradiente da função f(x, y) . O gradiente é um vetor que contém as derivadas parciais da função em relação a cada variável. Ou seja:
nabla f(x, y) = ( partial fpartial x, partial fpartial y )
Vamos calcular cada derivada parcial.

Passo 3

Calculando a derivada parcial em relação a x :
partial fpartial x = partialpartial x (12y + 2x^2 - 6x^2y + 2ln(xy))
= 0 + 4x - 12xy + 2xy cdot y
= 4x - 12xy + 2x
Simplificando:
partial fpartial x = 4x - 12xy + 2x

Passo 4

Calculando a derivada parcial em relação a y :
partial fpartial y = partialpartial y (12y + 2x^2 - 6x^2y + 2ln(xy))
= 12 + 0 - 6x^2 + 2xy cdot x
= 12 - 6x^2 + 2y
Simplificando:
partial fpartial y = 12 - 6x^2 + 2y

Passo 5

Agora, vamos calcular o gradiente no ponto P(1,1) :
nabla f(1,1) = (4(1) - 12(1)(1) + 21, 12 - 6(1)^2 + 21)
= (4 - 12 + 2, 12 - 6 + 2)
= (-6, 8)

Passo 6

Em seguida, precisamos normalizar o vetor direção v = (-12, 9) . Isso significa transformar v em um vetor unitário na mesma direção.
Primeiro, calculamos o módulo de v :
|v| = raiz(-12)^2 + 9^2 = raiz144 + 81 = raiz225 = 15
Agora, o vetor unitário u é:
u = ( -1215, 915 ) = ( -45, 35 )

Passo 7

Por fim, a derivada direcional de f no ponto P(1,1) na direção de v é o produto escalar do gradiente com o vetor unitário:
Dvf(1,1) = nabla f(1,1) cdot u = (-6, 8) cdot ( -45, 35 )
= (-6) ( -45 ) + 8 ( 35 )
= 245 + 245 = 485
= 9,6

Resposta

A derivada direcional de f(x, y) em P(1,1) na direção do vetor v = (-12, 9) é 9,6.

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