Considere a função
e
.
A derivada direcional de
, em
, na direção do vetor
, é
A derivada direcional de
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular a derivada direcional da função
no ponto
na direção do vetor
. Para isso, vamos precisar usar o conceito de derivada direcional, que envolve o cálculo do gradiente da função e a normalização do vetor direção.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar o gradiente da função
. O gradiente é um vetor que contém as derivadas parciais da função em relação a cada variável. Ou seja:
Vamos calcular cada derivada parcial.
Passo 3
Calculando a derivada parcial em relação a
:
Simplificando:
Passo 4
Calculando a derivada parcial em relação a
:
Simplificando:
Passo 5
Agora, vamos calcular o gradiente no ponto
:
Passo 6
Em seguida, precisamos normalizar o vetor direção
. Isso significa transformar
em um vetor unitário na mesma direção.
Primeiro, calculamos o módulo de
:
Agora, o vetor unitário
é:
Passo 7
Por fim, a derivada direcional de
no ponto
na direção de
é o produto escalar do gradiente com o vetor unitário:
Resposta
A derivada direcional de
em
na direção do vetor
é 9,6.