Considere a função x=h(y, z), definida implicitamente por F(x, y, z)=x^3 z-2 x y+y z^2=-4 e P(2,1,0). Calcule:
partial xpartial y|P=

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma função implícita definida por $ F(x, y, z) = x^{3} z - 2xy + yz^{2} = -4 $ e queremos encontrar a derivada parcial de $ x $ em relação a $ y $ no ponto $ P(2,1,0) $. Isso envolve cálculo de derivadas parciais e diferenciação implícita. Para resolver, vamos precisar usar a regra da cadeia e entender como derivar funções que não estão isoladas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que quando temos uma função implícita como $ F(x, y, z) = 0 $, e queremos achar a derivada parcial de $ x $ em relação a $ y $, a gente pode usar a seguinte fórmula da diferenciação implícita:
F(x, y, z) = 0
Isso porque estamos assumindo que $ x $ é uma função de $ y $ e $ z $.

Passo 3

Vamos calcular as derivadas parciais de $ F $ em relação a $ y $ e $ x $.
Primeiro, a derivada parcial de $ F $ em relação a $ y $:
F
Calculando termo a termo:
  • $ \frac{\partial}{\partial y}(x^{3} z) = x^{3} \cdot 0 = 0 $ (porque $ z $ é tratado como constante)
  • $ \frac{\partial}{\partial y}(-2xy) = -2x $
  • $ \frac{\partial}{\partial y}(yz^{2}) = z^{2} $
Então,
y
Agora, a derivada parcial de $ F $ em relação a $ x $:
x
Calculando termo a termo:
  • $ \frac{\partial}{\partial x}(x^{3} z) = 3x^{2} z $
  • $ \frac{\partial}{\partial x}(-2xy) = -2y $
  • $ \frac{\partial}{\partial x}(yz^{2}) = 0 $ (porque tudo que envolve $ y $ e $ z $ é tratado como constante)
Então,
F

Passo 4

Agora, vamos substituir esses resultados na fórmula da derivada parcial:
partial xpartial y = --2x + z^23x^2 z - 2y
Simplificando:
partial xpartial y = 2x - z^23x^2 z - 2y

Passo 5

Por fim, vamos avaliar essa expressão no ponto $ P(2,1,0) $, ou seja, $ x = 2 $, $ y = 1 $ e $ z = 0 $.
Substituindo os valores:
P(2,1,0)

Resposta

partial xpartial y|P = -2

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