Considere a função
, definida implicitamente por
e
. Calcule:
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma função implícita definida por $ F(x, y, z) = x^{3} z - 2xy + yz^{2} = -4 $ e queremos encontrar a derivada parcial de $ x $ em relação a $ y $ no ponto $ P(2,1,0) $. Isso envolve cálculo de derivadas parciais e diferenciação implícita. Para resolver, vamos precisar usar a regra da cadeia e entender como derivar funções que não estão isoladas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que quando temos uma função implícita como $ F(x, y, z) = 0 $, e queremos achar a derivada parcial de $ x $ em relação a $ y $, a gente pode usar a seguinte fórmula da diferenciação implícita:
Isso porque estamos assumindo que $ x $ é uma função de $ y $ e $ z $.
Passo 3
Vamos calcular as derivadas parciais de $ F $ em relação a $ y $ e $ x $.
Primeiro, a derivada parcial de $ F $ em relação a $ y $:
Calculando termo a termo:
- $ \frac{\partial}{\partial y}(x^{3} z) = x^{3} \cdot 0 = 0 $ (porque $ z $ é tratado como constante)
- $ \frac{\partial}{\partial y}(-2xy) = -2x $
- $ \frac{\partial}{\partial y}(yz^{2}) = z^{2} $
Então,
Agora, a derivada parcial de $ F $ em relação a $ x $:
Calculando termo a termo:
- $ \frac{\partial}{\partial x}(x^{3} z) = 3x^{2} z $
- $ \frac{\partial}{\partial x}(-2xy) = -2y $
- $ \frac{\partial}{\partial x}(yz^{2}) = 0 $ (porque tudo que envolve $ y $ e $ z $ é tratado como constante)
Então,
Passo 4
Agora, vamos substituir esses resultados na fórmula da derivada parcial:
Simplificando:
Passo 5
Por fim, vamos avaliar essa expressão no ponto $ P(2,1,0) $, ou seja, $ x = 2 $, $ y = 1 $ e $ z = 0 $.
Substituindo os valores: