Considere a função f(x, y)=12 y+2 x^2-6 x^2 y+2 ln (x y) e P(1,1).
Se u min é unitário apontando na direção que f(x, y) tem maior taxa de decrescimento, em P(1,1), então u min =(square) e a derivada direcional nessa direção é square

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem a função f(x, y) = 12y + 2x^2 - 6x^2y + 2 ln(xy) no ponto P(1,1) . O objetivo aqui é encontrar a direção onde a função diminui mais rápido nesse ponto e calcular a derivada direcional nessa direção. Para isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo multivariável, como gradiente e derivadas direcionais.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a direção de maior crescimento de uma função no ponto é dada pelo gradiente da função nesse ponto. A direção de maior decrescimento, então, é exatamente o oposto disso. Então, nosso primeiro passo é calcular o gradiente de f em P(1,1) .

Passo 3

O gradiente de f , denotado por nabla f , é um vetor que contém as derivadas parciais de f em relação a x e y . Vamos calcular essas derivadas.
Para partial fpartial x :
partial fpartial x = 4x - 12xy + 2x
Para partial fpartial y :
partial fpartial y = 12 - 6x^2 + 2y

Passo 4

Agora, vamos avaliar essas derivadas no ponto P(1,1) .
Para partial fpartial x em (1,1) :
4(1) - 12(1)(1) + 21 = 4 - 12 + 2 = -6
Para partial fpartial y em (1,1) :
12 - 6(1)^2 + 21 = 12 - 6 + 2 = 8

Passo 5

Então, o gradiente de f no ponto P(1,1) é:
nabla f(1,1) = (-6, 8)

Passo 6

Como queremos a direção de maior decrescimento, vamos pegar o vetor oposto ao gradiente. Isso significa que a direção será:
(-(-6), -8) = (6, -8)

Passo 7

Agora, precisamos transformar esse vetor em um vetor unitário, ou seja, com comprimento igual a 1. Para isso, calculamos a norma do vetor:
| v | = raiz6^2 + (-8)^2 = raiz36 + 64 = raiz100 = 10

Passo 8

Então, o vetor unitário na direção de maior decrescimento é:
umin = ( 610, -810 ) = ( 35, -45 )

Passo 9

Para encontrar a derivada direcional nessa direção, usamos a fórmula:
Du f = nabla f cdot u
Onde cdot representa o produto escalar.

Passo 10

Vamos calcular o produto escalar entre nabla f(1,1) = (-6, 8) e umin = ( 35, -45 ) :
Dumin f = (-6) ( 35 ) + (8) ( -45 ) = -185 - 325 = -505 = -10

Resposta

umin = ( 35, -45 ) e a derivada direcional nessa direção é -10 .

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