Considere a função
e
.
Se
é unitário apontando na direção que
tem maior taxa de decrescimento, em
, então
e a derivada direcional nessa direção é
Se
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem a função
no ponto
. O objetivo aqui é encontrar a direção onde a função diminui mais rápido nesse ponto e calcular a derivada direcional nessa direção. Para isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo multivariável, como gradiente e derivadas direcionais.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a direção de maior crescimento de uma função no ponto é dada pelo gradiente da função nesse ponto. A direção de maior decrescimento, então, é exatamente o oposto disso. Então, nosso primeiro passo é calcular o gradiente de
em
.
Passo 3
O gradiente de
, denotado por
, é um vetor que contém as derivadas parciais de
em relação a
e
. Vamos calcular essas derivadas.
Para
:
Para
:
Passo 4
Agora, vamos avaliar essas derivadas no ponto
.
Para
em
:
Para
em
:
Passo 5
Então, o gradiente de
no ponto
é:
Passo 6
Como queremos a direção de maior decrescimento, vamos pegar o vetor oposto ao gradiente. Isso significa que a direção será:
Passo 7
Agora, precisamos transformar esse vetor em um vetor unitário, ou seja, com comprimento igual a 1. Para isso, calculamos a norma do vetor:
Passo 8
Então, o vetor unitário na direção de maior decrescimento é:
Passo 9
Para encontrar a derivada direcional nessa direção, usamos a fórmula:
Onde
representa o produto escalar.
Passo 10
Vamos calcular o produto escalar entre
e
: