Considere a função
f(x, y)=ll x^2 y^2x^2+y^2, & se (x, y) neq(0,0) 0, & se (x, y)=(0,0)
Determine partial fpartial x(0,0) e partial fpartial y(0,0).

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma função f(x, y) que é definida de duas maneiras: para qualquer ponto diferente de (0,0), ela é igual a x^2 y^2x^2 + y^2, e exatamente no ponto (0,0), ela vale 0. O que a gente precisa descobrir são as derivadas parciais de f em relação a x e y no ponto (0,0). Para isso, vamos usar o conceito de derivada parcial, que basicamente mede como a função muda à medida que a gente varia apenas uma das variáveis, mantendo a outra fixa.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como calcular a derivada parcial de f em relação a x no ponto (0,0). A fórmula para a derivada parcial é:
partial fpartial x(0,0) = limh to 0 f(h, 0) - f(0, 0)h
Isso significa que vamos avaliar a mudança na função quando fazemos um pequeno deslocamento h na direção de x , mantendo y = 0 .

Passo 3

Vamos calcular f(h, 0) . Substituindo na definição da função:
f(h, 0) = h^2 cdot 0^2h^2 + 0^2 = 0h^2 = 0
E sabemos que f(0, 0) = 0 pela definição da função.

Passo 4

Agora, substituímos esses valores na fórmula da derivada parcial:
partial fpartial x(0,0) = limh to 0 0 - 0h = limh to 0 0h = 0
Então, a derivada parcial de f em relação a x no ponto (0,0) é 0.

Passo 5

Vamos repetir o mesmo processo para a derivada parcial em relação a y . A fórmula é:
partial fpartial y(0,0) = limk to 0 f(0, k) - f(0, 0)k
Aqui, fazemos um pequeno deslocamento k na direção de y , mantendo x = 0 .

Passo 6

Calculando f(0, k) :
f(0, k) = 0^2 cdot k^20^2 + k^2 = 0k^2 = 0
E, novamente, f(0, 0) = 0 .

Passo 7

Substituindo esses valores na fórmula da derivada parcial em relação a y :
partial fpartial y(0,0) = limk to 0 0 - 0k = limk to 0 0k = 0
Então, a derivada parcial de f em relação a y no ponto (0,0) também é 0.

Resposta

As derivadas parciais de f no ponto (0,0) são:
partial fpartial x(0,0) = 0 e partial fpartial y(0,0) = 0

Exercícios relacionados