Esboce no mesmo plano as curvas de nível c=4 e c=12 da função
f(x, y)=x^2+(y-2)^2+3

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente desenhar no mesmo plano as curvas de nível quando c = 4 e c = 12 da função f(x, y) = x^2 + (y - 2)^2 + 3 . Isso envolve entender o que são curvas de nível e como a função dada se comporta.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma curva de nível. É basicamente um conjunto de pontos (x, y) onde a função f(x, y) assume um valor constante c . Ou seja, para cada c , a curva de nível é definida pela equação f(x, y) = c .

Passo 3

Vamos aplicar isso à nossa função. Temos:
f(x, y) = x^2 + (y - 2)^2 + 3
Queremos encontrar as curvas de nível para c = 4 e c = 12 . Então, vamos igualar a função a esses valores:
Para c = 4 :
x^2 + (y - 2)^2 + 3 = 4
Para c = 12 :
x^2 + (y - 2)^2 + 3 = 12

Passo 4

Agora, vamos resolver essas equações para simplificar:
Para c = 4 :
x^2 + (y - 2)^2 = 4 - 3 x^2 + (y - 2)^2 = 1
Para c = 12 :
x^2 + (y - 2)^2 = 12 - 3 x^2 + (y - 2)^2 = 9

Passo 5

Observamos que ambas as equações representam círculos no plano cartesiano:
  • x^2 + (y - 2)^2 = 1 é um círculo com centro em (0, 2) e raio 1 .
  • x^2 + (y - 2)^2 = 9 é um círculo com o mesmo centro (0, 2) , mas com raio 3 .

Resposta

As curvas de nível c = 4 e c = 12 da função f(x, y) = x^2 + (y - 2)^2 + 3 são círculos com centro no ponto (0, 2) . O círculo correspondente a c = 4 tem raio 1 e o de c = 12 tem raio 3 . Assim, ao esboçar no mesmo plano, teremos dois círculos concêntricos centrados em (0, 2) com raios diferentes.

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