Nos Exercícios de 1a 16, determine se a seqüência dada é crescente, decrescente ou não-monótona.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente verificar se a sequência
é crescente, decrescente ou não-monótona. A matéria envolvida aqui é análise de sequências, especificamente verificando a monotonicidade delas. Para resolver, vamos precisar entender o que significa uma sequência ser crescente ou decrescente e como analisar o comportamento dos termos conforme
aumenta.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é uma sequência crescente ou decrescente. Uma sequência é crescente se cada termo é maior que o anterior, ou seja,
para todo
. É decrescente se cada termo é menor que o anterior,
. Se não seguir nenhuma dessas, a sequência é não-monótona.
Passo 3
Vamos analisar a expressão da sequência:
. O numerador
é o fatorial de
, que é o produto de todos os números inteiros de 1 até
. O denominador é o produto dos primeiros
números ímpares.
Passo 4
Para facilitar a comparação entre termos consecutivos, vamos calcular a razão
. Se essa razão for maior que 1, a sequência está aumentando; se for menor que 1, está diminuindo.
Passo 5
Vamos calcular
:
Passo 6
Agora, analisamos a expressão
. Queremos saber se essa fração é maior ou menor que 1:
Como
é um número natural (1, 2, 3, …),
nunca é verdade. Portanto,
para todo
.
Passo 7
Como a razão
para todo
, isso significa que cada termo da sequência é menor que o anterior. Logo, a sequência é decrescente.
Resposta
A sequência
é decrescente.