Nos Exercícios de 1a 16, determine se a seqüência dada é crescente, decrescente ou não-monótona.
n!1 cdot 3 cdot 5 cdot ldots cdot(2 n-1)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente verificar se a sequência n!1 cdot 3 cdot 5 cdot ldots cdot(2n-1) é crescente, decrescente ou não-monótona. A matéria envolvida aqui é análise de sequências, especificamente verificando a monotonicidade delas. Para resolver, vamos precisar entender o que significa uma sequência ser crescente ou decrescente e como analisar o comportamento dos termos conforme n aumenta.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma sequência crescente ou decrescente. Uma sequência é crescente se cada termo é maior que o anterior, ou seja, an+1 > an para todo n. É decrescente se cada termo é menor que o anterior, an+1 < an. Se não seguir nenhuma dessas, a sequência é não-monótona.

Passo 3

Vamos analisar a expressão da sequência: n!1 cdot 3 cdot 5 cdot ldots cdot(2n-1). O numerador n! é o fatorial de n, que é o produto de todos os números inteiros de 1 até n. O denominador é o produto dos primeiros n números ímpares.

Passo 4

Para facilitar a comparação entre termos consecutivos, vamos calcular a razão an+1an. Se essa razão for maior que 1, a sequência está aumentando; se for menor que 1, está diminuindo.

Passo 5

Vamos calcular an+1an:
an+1an = (n+1)!1 cdot 3 cdot 5 cdot ldots cdot(2(n+1)-1) div n!1 cdot 3 cdot 5 cdot ldots cdot(2n-1) = (n+1)2n+1

Passo 6

Agora, analisamos a expressão n+12n+1. Queremos saber se essa fração é maior ou menor que 1:
n+12n+1 > 1 se n+1 > 2n+1 Rightarrow n+1 > 2n+1 Rightarrow 0 > n
Como n é um número natural (1, 2, 3, …), 0 > n nunca é verdade. Portanto, n+12n+1 < 1 para todo n >= 1.

Passo 7

Como a razão an+1an < 1 para todo n >= 1, isso significa que cada termo da sequência é menor que o anterior. Logo, a sequência é decrescente.

Resposta

A sequência n!1 cdot 3 cdot 5 cdot ldots cdot(2n-1) é decrescente.

Exercícios relacionados