Dada uma função diferenciável
, considere a função
definida por
. Mostre que
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é uma função diferenciável
e outra função
definida por
. O que precisamos fazer é mostrar que
. Para resolver isso, vamos usar alguns conceitos de derivadas parciais e a regra da cadeia. A dica que nos deram foi chamar
, o que vai ajudar na nossa resolução.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar que
é uma função composta. Sabemos que
onde
. Para encontrar as derivadas parciais de
em relação a
e
, vamos usar a regra da cadeia. A regra da cadeia nos diz que:
Passo 3
Agora, vamos calcular
e
:
Substituindo esses valores nas equações das derivadas parciais de
:
Passo 4
Agora, vamos substituir essas derivadas na expressão que queremos mostrar:
Simplificando:
Resposta
Portanto, mostramos que
.