Dada uma função diferenciável g: R R, considere a função varphi: R^2 R definida por varphi(x, y)=g(x^3-y^3). Mostre que
l varphi(x, y)=g(x^3-y^3) Mostre y^2 partial varphipartial x+x^2 partial varphipartial y=0 Dica: Chame u=x^3-y^3

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é uma função diferenciável g: R R e outra função varphi: R^2 R definida por varphi(x, y) = g(x^3 - y^3) . O que precisamos fazer é mostrar que y^2 partial varphipartial x + x^2 partial varphipartial y = 0 . Para resolver isso, vamos usar alguns conceitos de derivadas parciais e a regra da cadeia. A dica que nos deram foi chamar u = x^3 - y^3 , o que vai ajudar na nossa resolução.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar que varphi é uma função composta. Sabemos que varphi(x, y) = g(u) onde u = x^3 - y^3 . Para encontrar as derivadas parciais de varphi em relação a x e y , vamos usar a regra da cadeia. A regra da cadeia nos diz que:
partial varphipartial x = dgdu cdot partial upartial x
partial varphipartial y = dgdu cdot partial upartial y

Passo 3

Agora, vamos calcular partial upartial x e partial upartial y :
partial upartial x = partialpartial x (x^3 - y^3) = 3x^2
partial upartial y = partialpartial y (x^3 - y^3) = -3y^2
Substituindo esses valores nas equações das derivadas parciais de varphi :
partial varphipartial x = dgdu cdot 3x^2
partial varphipartial y = dgdu cdot (-3y^2)

Passo 4

Agora, vamos substituir essas derivadas na expressão que queremos mostrar:
y^2 partial varphipartial x + x^2 partial varphipartial y = y^2 ( dgdu cdot 3x^2 ) + x^2 ( dgdu cdot (-3y^2) )
Simplificando:
= 3x^2 y^2 dgdu - 3x^2 y^2 dgdu = 0

Resposta

Portanto, mostramos que y^2 partial varphipartial x + x^2 partial varphipartial y = 0 .

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