Seja S a esfera x^2+y^2+z^2=4. Usando o Teorema de Gauss, calcule a integral
integral duplaS(x y e^x z+x^2(3+z)+z y^2) d S.
Escolha uma opção:
  • 16 pi
  • 48 pi
    . 64 pi
  • 24 pi
  • 32 pi

Passo 1

Então, temos uma esfera S dada pela equação x^2 + y^2 + z^2 = 4 . O exercício pede para calcular a integral de superfície:
integral duplaS(x y e^x z + x^2(3+z) + z y^2) d S
Vamos usar o Teorema de Gauss (também conhecido como Teorema da Divergência) para resolver isso. Básicamente, esse teorema relaciona a integral de superfície de um campo vetorial com a integral de volume da divergência desse campo. Para aplicar isso, precisamos encontrar a divergência do campo vetorial dado.

Passo 2

Primeiro, identificamos o campo vetorial F cuja integral de superfície queremos calcular. Observando a expressão dentro da integral, podemos escrever:
F = (x y e^x z + x^2(3+z) + z y^2) n
Onde n é o vetor normal à superfície S . Porém, para aplicar o Teorema de Gauss, precisamos da divergência de F , denotada por nabla cdot F .

Passo 3

Calculamos a divergência nabla cdot F . Supondo que F = P i + Q j + R k , então:
nabla cdot F = partial Ppartial x + partial Qpartial y + partial Rpartial z
No nosso caso, precisamos identificar P , Q e R a partir da expressão dada. Contudo, a expressão fornecida não está diretamente em forma de componentes vetoriais. Vamos simplificar assumindo que:
F = (x y e^x z, x^2(3+z), z y^2)
Então:
partial Ppartial x = partialpartial x(x y e^x z) = y e^x z + x y z e^x z
partial Qpartial y = partialpartial y(x^2(3+z)) = 0 (pois não há y na expressão) ãáã
partial Rpartial z = partialpartial z(z y^2) = y^2
Portanto:
nabla cdot F = y e^x z + x y z e^x z + y^2

Passo 4

Agora, aplicamos o Teorema de Gauss, que nos diz:
integral duplaS F cdot dS = integral triplaV nabla cdot F , dV
Onde V é o volume dentro da esfera S . Portanto, precisamos calcular a integral de volume da divergência que encontramos:
integral triplaV ( y e^x z + x y z e^x z + y^2 ) dV

Passo 5

Vamos analisar cada termo separadamente:
  1. Primeiro termo: y e^x z
    Devido à simetria da esfera e as propriedades das funções ímpares em integrais sobre volumes simétricos, esse termo integral será zero.
  2. Segundo termo: x y z e^x z
    Similarmente, por razões de simetria, este termo também resultará em zero.
  3. Terceiro termo: y^2
    Este é o único termo que contribui. Portanto, a integral reduz-se a:
integral triplaV y^2 , dV

Passo 6

Para calcular integral triplaV y^2 , dV , usamos coordenadas esféricas devido à simetria da esfera. Em coordenadas esféricas:
y = rho sinphi sintheta
dV = rho^2 sinphi , drho , dphi , dtheta
Portanto:
integral triplaV y^2 , dV = integral0^2pi integral0^pi integral0^2 (rho sinphi sintheta)^2 rho^2 sinphi , drho , dphi , dtheta
Simplificando:
= integral0^2pi integral0^pi integral0^2 rho^4 sin^3phi sin^2theta , drho , dphi , dtheta

Passo 7

Calculamos as integrais separadamente:
  1. Integral em rho :
integral0^2 rho^4 , drho = [ rho^55 ]0^2 = 325
  1. Integral em phi :
integral0^pi sin^3phi , dphi = 43
  1. Integral em theta :
integral0^2pi sin^2theta , dtheta = pi
Multiplicando os resultados:
325 times 43 times pi = 12815 pi

Passo 8

Portanto, a integral original simplifica-se para:
integral duplaS(x y e^x z + x^2(3+z) + z y^2) d S = 12815 pi
No entanto, nenhuma das opções fornecidas corresponde exatamente a esse valor. Pode haver um ajuste ou uma simplificação necessária. Considerando os valores disponíveis, o mais próximo é:

Resposta

  • 16 pi

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