Considere a função f(x)=x^2-3 x+22 x^2-2.
Determine as assíntotas horizontais de f.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você me passou a função f(x) = x^2 - 3x + 22x^2 - 2 e quer descobrir as assíntotas horizontais dessa função. Basicamente, assíntotas horizontais são linhas que a função se aproxima quando x vai para mais ou menos infinito. Para encontrar essas assíntotas, vamos precisar entender de limites, especialmente quando x tende ao infinito positivo e negativo.

Passo 2

Primeiro, vamos revisar o que é uma assíntota horizontal. Uma assíntota horizontal ocorre quando o limite da função f(x) tende a um número constante L conforme x vai para +infty ou -infty . Matematicamente, isso é representado por:
limx to infty f(x) = L
limx to -infty f(x) = L
Se esses limites existirem e forem iguais a um número real L , então y = L é uma assíntota horizontal da função.

Passo 3

Agora, vamos aplicar isso à nossa função f(x) = x^2 - 3x + 22x^2 - 2 . Para encontrar as assíntotas horizontais, precisamos calcular:
  1. limx to infty x^2 - 3x + 22x^2 - 2
  2. limx to -infty x^2 - 3x + 22x^2 - 2

Passo 4

Vamos resolver o primeiro limite:
limx to infty x^2 - 3x + 22x^2 - 2
Para facilitar, dividimos o numerador e o denominador por x^2 :
limx to infty 1 - 3x + 2x^22 - 2x^2
À medida que x vai para infinito, 3x e 2x^2 tendem a 0. Assim, o limite simplifica para:
1 - 0 + 02 - 0 = 12

Passo 5

Agora, vamos resolver o segundo limite:
limx to -infty x^2 - 3x + 22x^2 - 2
Da mesma forma, dividimos numerador e denominador por x^2 :
limx to -infty 1 - 3x + 2x^22 - 2x^2
Novamente, conforme x vai para menos infinito, 3x e 2x^2 tendem a 0. Portanto, o limite também é:
1 - 0 + 02 - 0 = 12

Passo 6

Como os dois limites, quando x tende a +infty e -infty , resultaram no mesmo valor 12 , concluímos que a função tem uma única assíntota horizontal.

Resposta

A assíntota horizontal da função f(x) = x^2 - 3x + 22x^2 - 2 é y = 12 .

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