Considere a função
.
Determine as assíntotas horizontais de
.
Determine as assíntotas horizontais de
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você me passou a função
e quer descobrir as assíntotas horizontais dessa função. Basicamente, assíntotas horizontais são linhas que a função se aproxima quando
vai para mais ou menos infinito. Para encontrar essas assíntotas, vamos precisar entender de limites, especialmente quando
tende ao infinito positivo e negativo.
Passo 2
Primeiro, vamos revisar o que é uma assíntota horizontal. Uma assíntota horizontal ocorre quando o limite da função
tende a um número constante
conforme
vai para
ou
. Matematicamente, isso é representado por:
Se esses limites existirem e forem iguais a um número real
, então
é uma assíntota horizontal da função.
Passo 3
Agora, vamos aplicar isso à nossa função
. Para encontrar as assíntotas horizontais, precisamos calcular:
Passo 4
Vamos resolver o primeiro limite:
Para facilitar, dividimos o numerador e o denominador por
:
À medida que
vai para infinito,
e
tendem a 0. Assim, o limite simplifica para:
Passo 5
Agora, vamos resolver o segundo limite:
Da mesma forma, dividimos numerador e denominador por
:
Novamente, conforme
vai para menos infinito,
e
tendem a 0. Portanto, o limite também é:
Passo 6
Como os dois limites, quando
tende a
e
, resultaram no mesmo valor
, concluímos que a função tem uma única assíntota horizontal.
Resposta
A assíntota horizontal da função
é
.