Integrar as equações diferenciais quando pedido.
y^prime prime+2 y^prime+2 y=0

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes
y'' + 2y' + 2y = 0
O conteúdo aqui é resolver EDOs lineares homogêneas usando a equação característica.

Passo 2

Assumimos uma solução da forma y=e^rx e substituímos na equação para obter a equação característica:
r^2 + 2r + 2 = 0

Passo 3

Calculamos o discriminante da quadrática:
De<a = 2^2 - 4cdot1cdot2 = 4 - 8 = -4
Como De<a<0, as raízes são complexas conjugadas:
r = -2 pm raiz-42 = -1 pm i

Passo 4

Para raízes r=-1pm i a solução geral real da EDO é dada por
y(x) = e^alpha xl(C1cos(beta x)+C2sin(beta x)r),
onde alpha = -1 e beta = 1. Logo
y(x) = e^-xl(C1cos x + C2sin xr)

Resposta

y(x) = e^-xl(C1cos x + C2sin xr)

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