Integrar as equações diferenciais quando pedido.
y^prime prime+1y^3=0

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial de segunda ordem
y''+1y^3=0
que envolve apenas y e suas derivadas em relação a x. Para resolver, usaremos o método de redução de ordem via primeiro integral, multiplicando ambos os lados por y', pois
y'',y'=ddxl(tfrac12y'^2r) e y'y^3=ddxl(-tfrac12y^2r)

Passo 2

Multiplicando a equação dada por y', obtemos
y'',y'+y'y^3=0 ;Longrightarrow; ddxl(tfrac12y'^2r)+ddxl(-tfrac12y^2r)=0
Integrando em x surge o primeiro integral
tfrac12y'^2-tfrac12y^2=C1,
onde C1 é constante de integração.

Passo 3

Multiplicando por 2 e definindo C=2C1, reescrevemos
y'^2 = C + 1y^2

Passo 4

Separamos variáveis:
dydx=pmraizC+1y^2 ;Longrightarrow; dx=dyraizC+y^-2
Observando que
raizC+y^-2 =raizC,y^2+1|y|,
temos
dx=y,dyraizC,y^2+1

Passo 5

Integramos ambos os lados:
x + C2=pmintegraly,dyraizC,y^2+1
Fazendo a substituição u=C,y^2+1, du=2C,y,dy, obtemos
x + C2=pm1CraizC,y^2+1
Elevando ao quadrado dá
C,y^2+1=C^2(x+C2)^2
e, portanto,
y^2=C,(x+C2)^2-1C

Resposta

y^2 = C,(x + C2)^2 - 1C,
onde Cneq0 e C2 são constantes arbitrárias de integração.

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