Considere a função .
(a) Determine .
(b) Sendo , determine .
(c) Sendo , determine .
(d) Encontre e classifique todos os extremos locais de .
(e) Determine o valor máximo de sobre o conjunto .
4,7
3/5
Passo 1
Vamos resolver o exercício que envolve a função . O conteúdo principal aqui é cálculo de derivadas parciais, derivadas direcionais, composição de funções e análise de extremos de funções multivariáveis. Para resolver, vamos precisar aplicar conceitos de derivadas parciais, vetores unitários, composição de funções e métodos para encontrar e classificar extremos locais.
Passo 2
Parte (a): Determinar e .
Para encontrar as derivadas parciais de em relação a e , tratamos uma variável como constante enquanto derivamos em relação à outra.
Derivada parcial em relação a :
Derivada parcial em relação a :
Passo 3
Parte (b): Determinar com .
A derivada direcional de na direção de é dada por:
Primeiro, calculamos o gradiente nas coordenadas (1,2):
Em (1,2):
Agora, o produto escalar com :
Passo 4
Parte (c): Determinar onde .
Primeiro, compomos com :
Calculamos a derivada em relação a :
Simplificando e avaliando em :
Após calcular os valores trigonométricos, obtemos:
Passo 5
Parte (d): Encontrar e classificar todos os extremos locais de .
Para encontrar extremos locais, igualamos as derivadas parciais a zero:
Resolvendo o sistema:
Da primeira equação, . Substituindo na segunda:
Portanto, o ponto crítico é (0,0).
Para classificar, usamos a matriz Hessiana:
Calculamos o determinante de H :
det(H) = (2)(4) - (-2)(-2) = 8 - 4 = 4 > 0
Como partial^2 fpartial x^2 = 2 > 0 , o ponto (0,0) é um mínimo local.
Passo 6
Parte (e): Determinar o valor máximo de f sobre o conjunto D = (x, y) in R^2; x^2 + y^2 = 1 .
Usamos o método dos multiplicadores de Lagrange:
Definimos L(x,y,lambda) = x^2 - 2xy + 2y^2 - lambda(x^2 + y^2 - 1)
Calculamos as derivadas parciais e igualamos a zero:
partial Lpartial x = 2x - 2y - 2lambda x = 0
partial Lpartial y = -2x + 4y - 2lambda y = 0
partial Lpartial lambda = -(x^2 + y^2 - 1) = 0
Resolvendo o sistema, encontramos os pontos candidatos e avaliamos f para encontrar o valor máximo. Após resolver, encontramos que o valor máximo de f sobre D é 3.