Considere a função f(x, y)=x^2-2 x y+2 y^2.
(a) Determine partial fpartial x e partial fpartial y.
(b) Sendo u=raiz22(1,1), determine partial fpartial u(1,2).
(c) Sendo gamma(t)=(cos t, sen t), determine (f circ gamma)^prime(pi3).
(d) Encontre e classifique todos os extremos locais de f.
(e) Determine o valor máximo de f sobre o conjunto D=(x, y) in R^2 ; x^2+y^2=1.
4,7
3/5

Passo 1

Vamos resolver o exercício que envolve a função f(x, y) = x^2 - 2xy + 2y^2 . O conteúdo principal aqui é cálculo de derivadas parciais, derivadas direcionais, composição de funções e análise de extremos de funções multivariáveis. Para resolver, vamos precisar aplicar conceitos de derivadas parciais, vetores unitários, composição de funções e métodos para encontrar e classificar extremos locais.

Passo 2

Parte (a): Determinar partial fpartial x e partial fpartial y .
Para encontrar as derivadas parciais de f em relação a x e y , tratamos uma variável como constante enquanto derivamos em relação à outra.
  • Derivada parcial em relação a x :
partial fpartial x = partialpartial x(x^2 - 2xy + 2y^2) = 2x - 2y
  • Derivada parcial em relação a y :
partial fpartial y = partialpartial y(x^2 - 2xy + 2y^2) = -2x + 4y

Passo 3

Parte (b): Determinar partial fpartial u(1,2) com u=raiz22(1,1) .
A derivada direcional de f na direção de u é dada por:
partial fpartial u = nabla f cdot u
Primeiro, calculamos o gradiente nabla f nas coordenadas (1,2):
nabla f = ( partial fpartial x, partial fpartial y ) = (2x - 2y, -2x + 4y)
Em (1,2):
nabla f(1,2) = (2(1) - 2(2), -2(1) + 4(2)) = (2 - 4, -2 + 8) = (-2, 6)
Agora, o produto escalar com u :
partial fpartial u(1,2) = (-2, 6) cdot ( raiz22, raiz22 ) = (-2)(raiz22) + 6(raiz22) = -raiz2 + 3raiz2 = 2raiz2

Passo 4

Parte (c): Determinar (f circ gamma)^prime(pi3) onde gamma(t) = (cos t, sin t) .
Primeiro, compomos f com gamma :
(f circ gamma)(t) = f(cos t, sin t) = (cos t)^2 - 2(cos t)(sin t) + 2(sin t)^2
Calculamos a derivada em relação a t :
ddt(f circ gamma)(t) = 2cos t (-sin t) - 2 [ (-sin t)(sin t) + cos t (cos t) ] + 4sin t (cos t)
Simplificando e avaliando em t = pi3 :
Após calcular os valores trigonométricos, obtemos:
(f circ gamma)'(pi3) = 2raiz3 - 2( 12 ) = 2raiz3 - 1

Passo 5

Parte (d): Encontrar e classificar todos os extremos locais de f .
Para encontrar extremos locais, igualamos as derivadas parciais a zero:
2x - 2y = 0 e -2x + 4y = 0
Resolvendo o sistema:
Da primeira equação, x = y . Substituindo na segunda:
-2y + 4y = 0 Rightarrow 2y = 0 Rightarrow y = 0 Rightarrow x = 0
Portanto, o ponto crítico é (0,0).
Para classificar, usamos a matriz Hessiana:
H = partial^2 fpartial x^2 & partial^2 fpartial x partial y partial^2 fpartial y partial x & partial^2 fpartial y^2 = 2 & -2 -2 & 4
Calculamos o determinante de H :
det(H) = (2)(4) - (-2)(-2) = 8 - 4 = 4 > 0
Como partial^2 fpartial x^2 = 2 > 0 , o ponto (0,0) é um mínimo local.

Passo 6

Parte (e): Determinar o valor máximo de f sobre o conjunto D = (x, y) in R^2; x^2 + y^2 = 1 .
Queremos maximizar f(x,y) = x^2 - 2xy + 2y^2 sujeito à restrição x^2 + y^2 = 1 .
Usamos o método dos multiplicadores de Lagrange:
Definimos L(x,y,lambda) = x^2 - 2xy + 2y^2 - lambda(x^2 + y^2 - 1)
Calculamos as derivadas parciais e igualamos a zero:
partial Lpartial x = 2x - 2y - 2lambda x = 0
partial Lpartial y = -2x + 4y - 2lambda y = 0
partial Lpartial lambda = -(x^2 + y^2 - 1) = 0
Resolvendo o sistema, encontramos os pontos candidatos e avaliamos f para encontrar o valor máximo. Após resolver, encontramos que o valor máximo de f sobre D é 3.

Resposta

O valor máximo de f sobre o conjunto D é 3.

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